2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题2009.05.03

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009年5月3日8∶00－10∶00) 一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ． 2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ． 4．已知＝，则实数x＝ ． 5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ． 6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ． 7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm3． 8．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝ ． 9．设数列{an}满足：an＋1an＝2an＋1－2(n＝1，2，…)，a2009＝，则此数列的前2009项的和为 ． 10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) http://www.mathedu.cn 11．在直角坐标系xOy中，直线x－2y＋4＝0与椭圆＋＝1交于A，B两点，F是椭圆的左焦点．求以O，F，A，B为顶点的四边形的面积． 12．如图，设D、E是△ABC的边AB上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC． 13．若不等式＋≤k对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证； ⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论． 2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009年5月3日8∶00－10∶00) 一、填空题(每小题7分，共70分) http://www.mathedu.cn 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ． 填0． 解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1， ∴ α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋π(α＋β＝2(k＋l)π＋(k，l∈Z)． ∴ cos(α＋β)＝0． 2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k＝ ． 填11． 解：设公差为d，则得 55＝－5×11＋×11×10d(55d＝110(d＝2． ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1)(k＝11． 3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e＝ ． 填． 解：由(2b)2＝2c×2a(a2－c2＝ac(e2＋e－1＝0(e＝． 4．已知＝，则实数x＝ ． 填1． 解：即＝(32x－4×3x＋3＝0(3x＝1(舍去)，3x＝3(x＝1． 5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP＝2PC，CQ＝2QD．R为棱AD的中点，则点A、B到平面PQR的距离的比值为 ． 填． 解：A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比． VAPQR＝VAPQD＝×VAPCD＝××VABCD＝VABCD； 又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1－－×)SBCD＝SBCD， VRBPQ＝VRBCD＝×VABCD＝VABCD． ∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值： 在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点． 由Menelaus定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4． 在面ABD内，作射线MR交AB于点N，则N为面PQR与AB的交点． 由Menelaus定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝． ∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4． 6．设f(x)＝log3x－，则满足f(x)≥0的x的取值范围是 ． 填[3，4]． 解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x的取 ... ...