7.3　复数的三角表示

7.3*　复数的三角表示 课标要求 情境导入 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系（数学抽象）. 2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（数学运算）. 　　复数可以用a＋bi（a，b∈R）的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z（a，b）一一对应，与平面向量＝（a，b）也是一一对应的，你能用向量的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角θ来表示复数z吗？ 知识点一｜复数的三角形式 问题1　我们知道复数z＝a＋bi可以由向量在两坐标轴方向上的投影a，b来确定，向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？ 提示：可以由复数z的模和复平面内以x轴的非负半轴为始边、向量所在射线为终边的角来表示复数z. 【知识梳理】 1.定义：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成　r（cos θ＋isin θ）　的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的　辐角　.　r（cos θ＋isin θ）　叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式. 2.辐角的主值：我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作arg z，即0≤arg z＜2π. 　　提醒：辐角和辐角主值的区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；辐角和辐角主值的联系：θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 角度1　复数的代数形式化为三角形式 【例1】　（链接教材P84例1）将下列复数的代数形式化成三角形式： （1）＋i； 解：（1）r＝＝2，所以cos θ＝， 因为与＋i对应的点在第一象限，所以arg（＋i）＝， 故＋i＝2. （2）2－2i. 解：（2）r＝＝2，所以cos θ＝， 因为与2－2i对应的点在第四象限，所以arg（2－2i）＝， 故2－2i＝2. 【规律方法】 将复数的代数形式化为三角形式的步骤 （1）求复数的模； （2）确定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角； （4）求出复数的三角形式. 角度2　复数的三角形式化成代数形式 【例2】　（链接教材P85例2）把下列复数的三角形式化成代数形式： （1）4（cos ＋isin ）； 解：（1）4（cos ＋isin ）＝4cos ＋（4sin ）i＝4×＋（4×）i＝2＋2i. （2）3（cos ＋isin ）. 解：（2）3（cos ＋isin ）＝3cos ＋（3sin ）i＝3×（－）＋3×（－）i＝－－i. 【规律方法】 将复数的三角形式化为代数形式的方法 复数三角形式为z＝r（cos θ＋isin θ），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos θ，y＝rsin θ. 训练1　（1）下列复数是复数三角形式表示的是（　D　） A. B.－ C. D.cosπ＋isinπ 解析：（1）选项A，cos与isin之间要用“＋”连接，不是用“－”连接；选项B，－＜0不符合r≥0的要求；选项C，icosπ与sinπ是用“＋”连接但不是cosπ＋isinπ的形式，故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D. （2）复数的代数形式为　1－i　. 解析：（2）（cosπ＋isinπ）＝［cos（π＋π）＋isin（π＋π）］＝＝（－i）＝1－i. 知识点二｜复数三角形式的乘法法则与几何意义 问题2　根据复数乘法定义，两复数z1＝r1（cos θ1＋isin θ1）和z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）相乘的结果是什么呢？ 提示：z1·z2＝r1（cos θ1＋isin θ1）·r2（cos θ2＋isin θ2） ＝r1r2[（cos θ1cos θ2－sin θ1sin θ2）＋i（sin θ1cos θ2＋cos θ1sin θ2）] ＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）]. 【知识梳理】 1.乘法运算法则 设z1＝r1（cos θ1＋isin θ1），z2＝r2（cos θ2＋isin θ2）， ... ...