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课件网) 第二课时 向量数量积的运算及应用 知识点一 向量数量积的运算律 01 知识点二 向量模的计算 02 知识点三 向量的夹角与垂直 03 目录 课时作业 04 知识点一 向量数量积的运算律 01 PART 问题 （1）数的乘法运算满足哪些运算律？ 提示：①交换律：a·b＝b·a.②数乘结合律：（λa）·b＝λ （a·b）.③乘法对加法的分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. （2）向量的数量积是否满足交换律，数乘结合律？ 提示：满足. （3）对于向量a，b，c，（a＋b）·c＝a·c＋b·c成立吗？ 提示：成立.证明如下： 如图，任取一点O，作 ＝a， ＝b， ＝c， ＝a＋b. 设向量a，b，a＋b与c的夹角分别为θ1，θ2，θ， 它们在向量c上的投影向量分别为 ， ， ，与c方向相同的单位向量为e，则 ＝｜a｜ cos θ1e， ＝｜b｜ cos θ2e， ＝｜a＋b｜ cos θ e. 即｜a＋b｜ cos θ e＝｜a｜ cos θ1e＋｜b｜ cos θ2e. 整理，得（｜a＋b｜ cos θ－｜a｜ cos θ1－｜b｜ cos θ2）e＝0， 所以｜a＋b｜ cos θ－｜a｜ cos θ1－｜b｜ cos θ2＝0， 即｜a＋b｜ cos θ＝｜a｜ cos θ1＋｜b｜ cos θ2， 所以｜a＋b｜｜c｜ cos θ＝｜a｜｜c｜ cos θ1＋｜b｜｜c｜· cos θ2. 因此（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 因为a＝ ，所以 ＝ . 于是 ＝ ＋ ＝ ＋ ， 【知识梳理】 1. 向量数量积的运算律 （1）a·b＝ （交换律）； （2）（λa）·b＝ ＝ （数乘结合律）； （3）（a＋b）·c＝ （分配律）. b·a λ（a·b） a· （λb） a·c＋b·c 2. 向量数量积的常用结论 （1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝a2±2a·b ＋b2； （2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2； （3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）； （4）a2＋b2＝0 a＝b＝0. 提醒：（1）a·b＝b·c推不出a＝c；（2）a，c不共线时， （a·b）c≠a（b·c），它们表示不同的向量. 【例1】 （1）（链接教材P21例12）已知单位向量e1，e2的夹角为 120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝ ； 解析： 因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝ 2e1＋e2，所以a·b＝（－e1＋2e2）·（2e1＋e2）＝－2 ＋3e1·e2＋ 2 ＝－2＋3×1×1× cos 120°＋2＝－ . － （2）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上 的一点，DC＝2BD，则 · ＝ . － 解析： 由已知得 ＝ ，即 － ＝ （ － ），所以 ＝ ＋ .又 ＝ － ，所以 · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝－ ｜ ｜2＋ ｜ ｜2＋ · ＝－ ×4 ＋ ×1＋ ×2×1× cos 120°＝－ . 【规律方法】 数量积运算的两个关键点 （1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接 利用公式求解的问题； （2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向 量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解. 训练1 （1）已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，a与b的夹角为60°，则（a＋ 2b）·（a＋3b）＝ ； 解析： （a＋2b）·（a＋3b）＝a·a＋5a·b＋6b·b＝｜a｜2 ＋5a·b＋6｜b｜2＝｜a｜2＋5｜a｜｜b｜ cos 60°＋6｜b｜2＝62＋ 5×6×4× ＋6×42＝192. 192 （2）已知在边长为1的菱形ABCD中，点E为线段CD的中点，则 · ＝ . 解析： · ＝（ ＋ ）·（ － ）＝ ｜ ｜2 －｜ ｜2＝ －1＝－ . － 知识点二 向量模的计算 02 PART 【例2】 （1）已知平面向量a，b的夹角为 ，且｜a｜＝ ，｜b｜＝ 2，在△ABC中， ＝2a＋2b， ＝2a－6b，D为BC的中点，则｜ ｜＝（ A ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析： 因为 ＝ （ ＋ ）＝ （2a＋2b＋2a－6b）＝2a－ 2b，则｜ ｜2＝4（a－b）2＝4（a2－2a·b＋b2）＝4（3－2× × ... ...
