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课件网) 章末整合提升 体系构建 素养提升 体系构建 素养提升 一、向量的线性运算 向量的线性运算有平面向量及其坐标运算的加法、减法、数乘运算，以 及平面向量的基本定理、共线定理，主要考查向量的线性运算和根据线性 运算求参数等. 【例1】 （1）已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么 2a－b＝（ C ） A. （4，0） B. （0，4） C. （4，－8） D. （－4，8） 解析： 因为a∥b，所以1×4＝－2×m，解得m＝－2，所以b＝（－ 2，4），所以2a－b＝2（1，－2）－（－2，4）＝（4，－8）. C （2）设D，E为△ABC所在平面内两点， ＝ ， ＝2 ，则 ＝（ B ） A. － ＋ B. － C. － D. － ＋ 解析： 如图，因为 ＝ ， ＝2 ，所以 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ － .故选B. B 【反思感悟】 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的 结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用时要 注意向量的大小和方向两个方面. 二、向量的数量积运算（考教衔接） 平面向量的数量积是向量的核心内容，重点是数量积的运算，利用向量的 数量积判断两向量平行、垂直，求两向量的夹角，计算向量的长度等. 教材原题 （教材P60复习参考题第8题）已知向量a＝（1，0），b＝ （1，1）.当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 【例2】 （2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2， x），若b⊥（b－4a），则x＝（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析： 法一 因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2 －4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，故x＝2.故选D. D 法二 因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4 （0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所 以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0， 解得x＝2.故选D. 变式1 计算向量的模 （2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝ 2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（ ） A. B. √ C. D. 1 解析： 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝ 2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋ 6b2＝4，从而｜b｜＝ .故选B. 变式2 计算向量的夹角 已知单位向量a，b满足｜a－b｜＝ ，则a与a＋b的夹角为（ ） A. B. 解析： 由｜a－b｜＝ ，｜a｜＝｜b｜＝1得2－2a·b＝3，即 a·b＝－ ，所以｜a＋b｜2＝2＋2a·b＝1，所以｜a＋b｜＝1，易知 a·（a＋b）＝1＋a·b＝ ，所以 cos ＜a，a＋b＞＝ ＝ ＝ ，又0≤＜a，a＋b＞≤π，所以a与a＋b的夹 角为 .故选B. C. D. √ 变式3 计算向量的数量积 在△ABC中，BC＝6，AB＝4，∠CBA＝ ，D为AC的中点，E在BC 上，且 · ＝0，则 · ＝（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. －4 √ 解析： 以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（4，0），B（0，0），C（0，6），D（2，3）， ＝（2，3）， ＝（0，6），设E（0，b），则 ＝ （－4，b），由 · ＝0得（－4，b）·（2，3）＝ 0，即－8＋3b＝0，所以b＝ ，所以E（0， ），所以 ＝（－4， ），所以 · ＝16.故选A. 变式4 计算向量的投影向量 已知向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，则b－2a在a上的投 影向量为（ ） A. － a B. － a √ C. a D. a 解析： 因为向量a与向量b的夹角为 ，｜a｜＝ ｜b｜，所以 a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＝ ｜b｜2，则b－2a在a上的投影向量为 ·a＝ ·a＝ ·a＝－ a.故选A. 【反思感悟】 1. 向量数量积的两种计算方法 （1）当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜ b｜ cos θ； （2）当已知向量 ... ...
