襄阳四中 2025 级高一下学期三月学情质量检测 数学试题 一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1. 已知 ,则与 方向相同的单位向量是( ) A. B. C. D. 2. 已知 为共线向量,且 ,则 ( ) A. B. C. 40 D. 3. 如图所示，已知在 中， 是线段 上的靠近 的三等分点，则 () A. B. C. D. 4. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于( ) A. 3 B. C. 21 D. 5. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 6. 已知 . 若 ,则 ( ) A. B. C. D. 7. 如图,圆 内接边长为 1 的正方形 是弧 (包括端点) 上一点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知向量 ，若 与 的夹角不超过 ，则 的范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求) 9. (多选) 已知 为非零向量,则下列命题中正确的是 ( ) A. 若 ,则 与 方向相同 B. 若 ,则 与 方向相反 C. 若 ,则 与 模相等 D. 若 ,则 与 方向相同 10. 已知向量 ，则()) A. B. ,使得 C. ,使得 D. ,使得 11. 如图,在 中, 交 于点 ,且 ,则 ( ) A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 已知两个单位向量 的夹角为 ,该平面内 ,则 _____. 13. 已知 是 内一点,且 ,点 在 内 (含边界),若 ，则 的最小值是_____. 14. 已知点 是半径为 4 的圆 内一点， 为圆 上任意两点，当 取得最大值时, _____. 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分) 15. 已知 . (1) 求 的值; (2)求 的值. 16. 已知 ,记 在 方向上的投影向量为 . (1)求 的值； (2)若向量 与 的夹角为锐角,求实数 的取值范围. 17. 在 中， ， ，且 . (1)求角 的值. (2) 求 的最大值. 18. 如图，在平行四边形 中， 为 的中点， ， 分别为 ， 的一个三等分点，点 靠近点 ，点 靠近点 ，记 ， . (1)把 放到平面直角坐标系 中，若 ， ，求点 的坐标； (2)用 表示 ； (3)若 ，求 . 19. 如图 1,已知四边形 为菱形, 为 的外心. 图1 (备用图) (1)求 的值； (2)点 在以 为圆心， 1 为半径的圆上运动， ①已知点 是点 关于点 的对称点，求 的取值范围； ②已知点 为边 的中点，且存在实数 ，使得 ，求出当 最大时的 的值. 1. C , , , 的单位向量为 ,故 C 正确. 故选: C. 2. A : 为共线向量, ,即 , . 故选: A. 3. B 因 是线段 上的靠近 的三等分点,则 . 4. D , . 故选: D. 5. D 由 6. A 由题设 ,可得 . 故选: A 7. C 方法一: 如图 1,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴、 轴,建立平面直角坐标系,则 . 设 ,则 . 因为 ,所以 . 由题意知,圆 的半径 . 因为点 在弧 (包括端点) 上, 所以 ,所以 的取值范围是 . 图1 图2 方法二: 如图 2,连接 . 易知 , 设 ,则 . 由已知可得 ,所以 , 所以 . 因为 ,所以 ,所以 , 所以 ,即 的取值范围是 . 故选: C. 8. A 由题意设 ,得 ,且 , 因为 ,在单位圆上取 , 因为 与 的夹角不超过 , 所以 , 所以 , 又 ,所以 , 所以 , 所以 , 故 的范围是 , 故选: A 9. ABD 如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当 不共线时, 根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有 . 当 同向时有 ,所以 A, D 正确, C 错误. 当 反向时有 ,所以 正确. 故选: ABD. 10. BD 对于 ,因为 ,若 ,则 ,无解,故 错误; 对于 ,因为 ,若 ,则 ,即 ,故 正确; 对于 ,因为 , 若 ,则 ,解得 ,不合题意,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 , 由 ,整理得 ,解得 ,故 正确. 11. ABD 如图, 取 的中点 ,连接 ,则 ,且 ,所以 ,且 , 所以 ,所以 ,即 . 对于 ,故 选项正确; 对于 ,故 选项正确; 由 ,可得 , 即 , 即 ,所以 , 当且仅当 ,即 时, 取得最小值为 ,故 选项错误, 选项正确. 故选:ABD 12. 由题意得 , . 13. 假设 是 的重心,延长 交 于点 , 则有 ,设 ,则 , 则 ,即 ,易得 方向相反,且模长 ... ...
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