大同中学2025-2026学年第二学期高三年级数学摸底考 2026.3 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1.关于的不等式的解集为_____． 2.抛物线的焦点到准线的距离是_____． 3.已知球的体积为，则球的表面积为_____． 4.已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为_____． 5.样本数据：，，，，，，，，，的75百分位数为_____． 6.有4名护士和2名医生站在一排，两名医生相邻，则不同的排法总数为_____． 7.已知数列通项公式，则数列的前9项和为_____． 8.若函数为奇函数，则函数，的值域为_____． 9.已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是_____． 10.如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为_____． 11.如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为_____． 12.若函数的定义域内存在区间，且，则称函数具有“性质”．下列说法正确的有_____， ①具有“性质”的一次函数存在且有无数个 ②具有“性质”的二次函数存在且有无数个 ③存在，使函数具有“性质” ④对任意，函数都具有“性质” 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项、考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.“”是“不等式在上恒成立”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知复数，的模长为1，且，则（ ） A. B.1 C. D. 15.已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点都有（ ） A. B. C. D. 16.已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”； ②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（ ） A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥．已知圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．设、是底面圆周上的两点，线段不经过点． （1）求圆锥的体积； （2）二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小． 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数，其中． （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得，，依次成等差数列，求实数的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到0.001）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布和期望（精确到0.001）． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数． 20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）． 已知函数，其中，．若点在函数的图像上，且经过点的切线与函数图像的另一个交点为点，则称点为 ... ...
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