河北省衡水市第二中学2026届高三上学期期末考试 数学（含答案）

河北衡水市第二中学2026届高三上学期2月期末考试 数学试题 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（ ） A．4 B．3 C．1 D．2 3．记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A．4 B． C．1 D．2 4．若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A． B． C． D．1 5．已知函数是奇函数，则（ ） A．2 B．1 C．0 D． 6．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，，记一点到直线的距离为，已知，记的轨迹为，则下列命题错误的为（） A．当时，是两条直线 B．当时，是圆 C．当时，是抛物线 D．当时，不存在 8．已知函数，若当时，，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（多选）记，已知直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则（ ） A．是递增数列 B．是等差数列 C．对任意正整数，存在正整数，使得当时， D．对任意正整数，存在正整数，使得当时， 10．在平面直角坐标系中，设，且.则（ ） A．存在最小值0 B．的周长存在最小值 C．的面积存在最大值 D．在上的投影向量的模长存在最小值 11．某实验室设计了一种数据纠错系统，该系统由若干个串联的纠错单元组成.记第个纠错单元的输入数据为1的概率为，其中.第个纠错单元会独立重复地采集次输入信号，每次为的概率均为，若这次采集中，至少有次检测为，则该单元输出，否则该单元输出.第个单元的输出作为第个单元的输入.已知且，则（） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知双曲线的左焦点为的一条渐近线方程为，则的标准方程为 . 13．将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 14．已知为实数，为正整数，且定义在区间上的函数当且仅当在处取得最值，则 . 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，.点满足. (1)过点作垂直于点，证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．在中，. (1)若，求的外接圆半径； (2)若是锐角三角形，证明：. 17．已知数列对任意正整数满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和. （i）的所有项构成了集合的所有项构成了集合，证明：； （ii）当时，证明：. 18．“两个维护”即坚决维护习近平总书记党中央的核心 全党的核心地位，坚决维护以习近平同志为核心的党中央权威和集中统一领导.某市剧团计划举办“坚决做到‘两个维护’”，主题演出，其中，某节目共有四名演员，开场前需全部更衣完毕.根据角色特点，每名角色所需得更衣时间都互不相同，从小到大分别记为（单位：分钟）；已知该剧团更衣间共两间，每间最多同时给一人更衣，现假设四人随机排成一列站在更衣间前，只要某个更衣间无人，当前排在最前面的人就进入更衣，更衣结束后离开，下一名演员进入.忽略演员进出更衣间的时间，设从第一名演员进入更衣间，到最后一名演员离开更衣间所需的总时间为（单位：分钟）. (1)若，记的最小值为，求概率； (2)若成公差为1的等差数列，. （i）写出的分布列及四个人的排列情况； （ii）若随机变量的数学期望，求. 19．已知函数，其中. (1)证明：在区间上存在唯一的极小值点； (2)若在定义域内不存在零点，求的取值范围； (3)当有两个不同的零点时，证明：. 参考答案 1．B 2．C 3．D 4．A 5．D 6．C 7．C 8．B 9．AC 10．BCD 11．ACD 12． 13． 14． 15．（1）由题意如图所示： 在直三棱柱中，因为平面，且平面， 所以，又，， 且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）在直三棱柱中，因为平面， 所以以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为：， 由， 则， 令，则，所以， 设 ... ...