章末复习 能力整合与素养提升 考法1 平面向量的线性运算及应用 例1 如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC(靠近点B)的一个三等分点，那么＝( D ) A． B．＋ C．＋ D． 【解析】在△CEF中，＝＋．因为点E为DC的中点，所以＝．因为点F为BC的一个三等分点，所以＝，所以＝＋＝＋＝． 【类题固法】 1．已知向量a＝(5，2)，b＝( 4， 3)，c＝(x，y)，若3a 2b＋c＝0，则c＝( A ) A．( 23， 12) B．(23，12) C．(7，0) D．( 7，0) 2．如图，已知＝a，＝b，＝3，则＝__ a＋b__．(用a，b表示) 【解析】＝＋＝＋＝＋)＝＋＝a＋b． 3．已知A，B，C三点共线，，不共线且点A在线段BC上(不含B，C端点)．若＝x＋y，则＋的最小值为( C ) A． B．4 C． D． 【解析】如图，设＝λ，0＜λ＜1，则＝＋＝＋λ＝＋λ()＝(1 λ)＋λ．又＝x＋y，所以x＝1 λ＞0，y＝λ＞0，x＋y＝1，则x＋(y＋1)＝2，因此＋＝［x＋(y＋1)］＝＝，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时取等号． 4．(多选)2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行．图(1)是第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形ABCD，就可以覆盖会徽的主图案．如图(2)，在四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，＝2，＝2，则下列等式一定成立的是( BCD ) 图(1) 图(2) A．＝＋ B．＋＝＋ C．＋＝ D．＝ 【解析】对于A，因为四边形ABCD不一定是平行四边形，所以＝＋不一定成立，故A错误；对于B，＋＝，＋＝，所以＋＝＋，故B正确；对于C，＋＝，＝，所以＋＝，故C正确；对于D，如图，连接BD，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以＝，又＝2，＝2，所以＝，所以＝，故D正确． 5．已知点P是△ABC内一点，满足＝λ＋μ，且2λ＋3μ＝1，延长AP交边BC于点D，BD＝2DC，则λ＋μ＝__ __． 【解析】因为BD＝2DC，所以＝k＝k＝＋，所以λ＝，μ＝．又因为2λ＋3μ＝1，所以k＝，所以λ＋μ＝． 考法2 向量的数量积 例2 (1) 已知向量a，b的夹角为，且a＝(3， 4)，|b|＝2，则|2a＋b|＝( C ) A．2 B．2 C．2 D．84 【解析】因为|2a＋b|2＝4a2＋4|a|·|b|cos＋b2＝4×(32＋42)＋4××2×＋22＝84，所以|2a＋b|＝2． (2) 在 ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2．若P为CD边上一点，则·的最小值为__ 1__． 【解析】设＝λ，则＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·［＋(λ 1)］＝＋λ(λ 1)＋(2λ 1)＝16λ(λ 1)＋4(2λ 1)＋4＝16 1，当λ＝时，()min＝ 1． 【类题固法】 1．若向量a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，则(2a＋b)·a＝( C ) A． 1 B．0 C．1 D．2 【解析】因为a＝(1， 1)，b＝( 1，2)，所以2a＋b＝2(1， 1)＋( 1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1， 1)＝1． 2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a b|＝( A ) A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】|3a b|＝＝＝＝＝7． 3．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·＝( B ) A． 1 B．1 C． D． 【解析】＝·()＝＋＝＋1＝1． 4．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b a)＝2，则向量a与向量b的夹角是( C ) A． B． C． D． 【解析】设向量a与b的夹角为α，由条件得a·b a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3＝|a|·|b|cosα＝1×6×cosα，所以cosα＝，α＝． 5．(多选)已知正八边形ABCDEFGH，O为正八边形的中心，其中OA＝2，则下列命题正确的是( BCD ) A．·＝ B．＋＝ C．在上的投影向量为 D．若P为正八边形边上的一个动点，则·的最大值为4 【解析】由题意知，正八边形的每条边所对的中心角均为45°，且中心到各个顶点的距离都是2．对于A，＝||||cos∠BOE＝2×2×cos 135°＝ 2，故A错误；对于B，如图，连接AC交OB于点N，则N为AC的中点，且OB＝ON，所以＋＝2＝＝ ，故B ... ...
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