7.2　第2课时　复数的乘、除运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

(课件网) 第七章 7.2　复数的四则运算 复　数 第2课时　复数的乘、除运算 学习 目标 1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；会在复数范围内解方程． 新知初探·基础落实 我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加、减法也可以看作多项式相加、减，类比多项式的乘法，能否得到复数的乘法法则？ 问题1：怎样定义复数的乘法？ 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac bd)＋(ad＋bc)i． 问题2：猜想复数的乘法满足哪些运算律？ 猜想，对于任意z1，z2，z3∈C，有： (1) 交换律：z1z2＝z2z1； (2) 结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3) 分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 一、 概念生成 问题3：复数的除法如何运算呢？ 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算．请探究复数除法的运算法则． 复数除法的运算法则是： (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)． 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数． 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c di，化简后就可得到上面的结果．这里分子与分母都乘分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”． 请同学阅读课本P77—P79，完成下列填空． 二、 概念表述 1．复数的乘法运算 (a＋bi)(c＋di)＝_____． 2．复数乘法的运算律 (ac bd)＋(ad＋bc)i 运算律 恒等式 交换律 z1z2＝_____ 结合律 (z1z2)z3＝_____ 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 z2z1 z1(z2z3) 3．复数的乘方(拓展知识) 当n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝z×z ×…×z(n个z相乘)． 当m，n都为正整数时，zmzn＝_____，(zm)n＝_____，(z1z2)n＝_____． zm＋n zmn 4．复数的除法运算(分母实数化) (1) 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)． (2) 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商，也可以看成z1与z2的倒数之积． (3) 复数的除法法则：通过z2＝(c＋di)(c di)＝c2＋d2，可以实现复数除法的“分母 实数化”，＝_____＝＋i(c＋di≠0)． 三、 概念辨析(判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”) (1) (1 i)2＝ 2i． (　　) (2) (1＋i)(i 1)＝ 2． (　　) (3) i2 025(1 i)＝1 i． (　　) (4) (2＋i)( 1＋2i)＝4＋3i． (　　) √ √ × × 典例精讲·能力初成 探究 1 复数的乘法运算 　　　(1) (课本P78例3)计算(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)． 1 【解答】 　　　　(1 2i)(3＋4i)( 2＋i)＝(11 2i)( 2＋i)＝ 20＋15i． (2) (课本P78例4)计算： ①(2＋3i)(2 3i)；　②(1＋i)2． 【解答】 　　　　①(2＋3i)(2 3i)＝22 (3i)2＝4 ( 9)＝13． ②(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i 1＝2i． 两个复数代数形式乘法的一般方法：首先按多项式的乘法展开，再将i2换成 1，然后再进行复数的加、减运算．常用公式： (1) (a＋bi)2＝a2 b2＋2abi(a，b∈R)． (2) (a＋bi)(a bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3) (1±i)2＝±2i． 变式　(1) 计算：(1 i)(1＋i)＝ (　　) A．1＋i　 B． 1＋i C．＋i　 D． ＋i 【解析】 　　　　(1 i)(1＋i)＝(1 i)(1＋i)＝2＝ 1＋i． B 变式　(2) 已知a，b∈R，若a i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝ (　　) A．5 4i　 B．5＋4i C．3 4i　 D．3＋4i 【解析】 　　　　因为a i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i． D 探究 2 复数的除法运算 　　　(课本P79例5)计算(1＋2 ... ...