2026 届高考模拟卷 数学 (120 分钟 150 分) 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 ，则其共轭复数 ( ) A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则 () A. B. C. D. 3. 的展开式中 的系数为( ) A. 0 B. 10 C. -20 D. 20 4. 某货船执行从 港口到 港口的航行任务, 港口在 港口的正北方向,已知河水的速度为向东 . 若货船在静水中的航速为 ，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短. 则该船完成此段航行的实际速度为( ) A. B. C. D. 5. 已知 是定义在 上的偶函数,函数 的图象关于点 中心对称, 若 ,则 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 是圆 上的动点, 是直线 上的动点,则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 7. 球面与过球心的平面的交线叫做大圆, 将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形, 每条大圆弧叫做球面三角形的一条边, 两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角. 如图,球 的半径 为球 的球面上的四点. 若球面三角形 的三条边长均为 ,则此球面三角形一个内角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 8. 已知函数 ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 若 ,且 ,则( ) A. B. C. D. 10. 设 是一个随机试验中的两个事件,且 , 则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 11. 在 中, 为边 的中点,则 ( ) A. B. C. D. 最大时， 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 函数 恒有 ,且 在 上单调递增, 则 13. 已知集合 ,将 与 的乘积 放入如图的 方格中，则方格中全部数之和的最大值为_____. 14. 已知 为抛物线 上两点， 为焦点， 为坐标原点， 在第一象限，且点 的纵坐标大于点 的纵坐标，若 ，则点 的坐标为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，侧面 为等边三角形,平面 平面 为 中点. (1)证明:平面 平面 ； (2)求平面 与平面 夹角的余弦值. 16. 已知正项数列 的前 项之积为 ,且 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)设 ，求 的前 项和 . 17. 某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分. 现从该校随机抽取 100 名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数) 及相应过程性积分数据，整理如下表: 科普测试成绩 科普过程性积分 人数 4 10 3 2 1 23 0 2 (1)当 时, (i) 从该校随机抽取一名学生, 估计这名学生的科普过程性积分不少于 3 分的概率; (ii) 从该校科普测试成绩不低于 80 分的学生中随机抽取 2 名,记 为这 2 名学生的科普过程性积分之和,估计 的数学期望 ; (2)从该校科普过程性积分不高于 1 分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为 ，上述 100 名学生科普测试成绩的平均值记为 . 若根据表中信息能推断 恒成立,直接写出 的最小值. 18. 在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的右顶点为 ,点 分别是 轴负半轴、 轴正半轴上的动点. (1)若 是 的左焦点,且 ,求 的值; (2)设 ， 上存在 轴上方一点 . 若 ，求 的坐标； (3) 设 ,过 的直线 与 交于 两点 两点不重合),与 轴交于 且 的纵坐标 ,记 与 到直线 的距离分别为 . 若存在直线 ,满足 成立,求 的取值范围. 19. 已知函数 ,其中 . (I) 讨论 的单调性; (II) 设曲线 与 轴正半轴的交点为 ,曲线在点 处的切线方程为 ,求证: 对于任意的正实数 ,都有 ; (III) 若关于 的方程 ( 为实数) 有两个正实根 ,求证: 1. A ,所以 , 故选: A. 2. B 由 可得 ,即 ,即得 , 则 . 故选: B. 3. ... ...
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