计算题专项练(五) 1.如图甲所示,一粗细均匀的U形细管右侧竖直部分长为L,左侧竖直管长度未知,在细管中倒入长度为的水银后封闭左侧管口,右侧管口盖一轻质薄活塞,此时水平部分水银柱长度为,两侧竖直管内水银面距底部的高度均为。现缓慢向右侧活塞上加水银,直到左侧水银面上升到距底部高度为处,如图乙所示。若将细管中空气视为理想气体,活塞与管壁无摩擦且不漏气,整个过程温度不变,水银密度为ρ,重力加速度为g,大气压强p=ρgL。求: (1)图乙状态下右侧细管中空气的压强; (2)U形细管左侧竖直管的长度。 答案 (1) (2)L 解析 (1)设右侧活塞上加的水银高度为L0,两侧细管水平截面面积为S,对右侧气柱,活塞上加水银前 压强p1=p=ρgL 体积V1=S=LS 加水银后 压强p2=ρgL+ρgL0 体积V2=(L-L0)S 又p1V1=p2V2 联立得L0=L 则p2=。 (2)设左侧竖直管长度为L,对左侧气柱,活塞上加水银前 压强p11=p=ρgL 体积V11=S 加水银后 压强p22=p2-ρgL=ρgL 体积V22=S 又p11V11=p22V22 联立得L1=L。 2.如图所示,质量均为m的物块A、B用绕过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳连接,A与地面接触,B离地面的高度h为1.2 m,质量为2m的圆环C套在轻绳上,C在B上方d=0.8 m处。由静止释放圆环C,C下落后与B碰撞并粘在一起,碰撞时间极短,不计C与绳之间的摩擦和空气阻力,A、B、C均可视为质点,重力加速度g取10 m/s2,求: (1)C、B碰撞后瞬间,共同速度为多大; (2)碰撞后,B经过多长时间到达地面。 答案 (1)2 m/s (2)0.4 s 解析 (1)设C与B碰撞前瞬间的速度大小为vC,碰撞前,由动能定理有 2mgd=×2m-0 得vC==4 m/s 设碰撞后共同速度为v,碰撞过程由动量守恒有2mvC=4mv 得v=2 m/s。 (2)C与B碰撞后粘在一起,一起向下做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律 3mg-mg=4ma 得a=g=5 m/s2 由运动学公式有h=vt+at2 得t=0.4 s 故碰撞后,B经过t=0.4 s后到达地面。 3.(2025济南市模拟)如图所示,光滑水平面AB和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接,导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放,脱离弹簧后经过B点时的速度大小为,之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy,在x≥-R区域有方向与x轴夹角为θ=45°的匀强电场,进入电场后小球受到的电场力大小为mg。小球在运动过程中电荷量保持不变,重力加速度为g。求: (1)弹簧压缩至A点时的弹性势能; (2)小球经过O点时的速度大小; (3)小球过O点后运动的轨迹方程。 答案 (1)mgR (2) (3)y2=6Rx 解析 (1)小球从A到B,根据能量守恒定律得 Ep=mgR。 (2)小球从B到O,根据动能定理有 -mgR+qE·R= 解得vO=。 (3)小球运动至O点时速度竖直向上受电场力和重力作用,将电场力分解到x轴和y轴,则x轴方向有 qEcos 45°=max 竖直方向有 qEsin 45°-mg=may 解得ax=g,ay=0 说明小球过O点后沿x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动,沿y轴方向做匀速直线运动,即做类平抛运动,则有 x=gt2,y=vOt 联立解得小球过O点后运动的轨迹方程为 y2=6Rx。 4 ... ...
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