2025-2026 学年度第二学期 3 月阶段检测 高一数学 (重点班) 考试时间 120 分钟 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. ( ) A. 1 B. C. D. -1 2. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 3. 设 为非零向量,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 () A. B. C. D. 5. 已知向量 ，若 ，则 ( ) A. 2 B. -1 C. 1 D. -2 6. 在 中, 是线段 上的一点,若 ,则实数 的值为 ( ) A. B. C. D. 7. 当 时,函数 取得最大值,则 的值可能为 ( ) A. B. C. D. 8. 如图，在 中，已知 ， ， ， ， 分别是 ， 边上的点,且 ,且 ,若线段 的中点分别为 ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知 ，且 ，则( ) A. B. C. D. 10. 已知非零向量 ，则下列结论正确的是( ) A. 若 ,则 B. 若 ，则 C. 若 ,则 D. 向量 与向量 垂直 11. 正方形 的边长为 在 上,且 ,如图,点 是以 为直径的半圆上任意一点, ,则() A. 最大值为 B. 最大值为 1 C. 的最大值为 D. 最大值是 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 若非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为_____. 13. 已知 ，则 _____. 14. 已知 中，点 ， 分别是知 的重心和外心，且 ， ，则边 的长为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤. 15. 在 中,角 的对应边分别为 ,根据各小题条件分别求解. (1) ,求最小的内角. (2) 是方程 的两个根， ，求边 的长. (3) ，求边 的长. 16. 已知 . (1)求 ； (2)若 ，求 的坐标； (3)若 ，求 与 的夹角. 17. (1)已知 ，其中 . 求角 的值. (2)化简: . 18. 已知 ,函数 . (1)求函数 的解析式及周期 ； ( 2 )若 ，且 ，求 的值. (3)角 分别为 三边所对的角,若 ，求 周长的最大值. 19. 正等角中心 (positive isogonal centre) 亦称费马点, 是三角形的巧合点之一. “费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是: “在一个三角形内求作一点, 使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. "意大利数学家托里拆利给出了解答, 当 的三个内角均小于120°时，使得 的点 即为费马点； 当 有一个内角大于或等于 时,最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题: 已知 的内角 所对的边分别为 ， (1)若 是关于 的方程 两根,其中 ① 求 ； ②若 ，设点 为 的费马点，求 ； (2)若 ,设点 为 的费马点, ,求实数 的最小值. 1. C . 故选: 2. A 由二倍角的余弦公式可得 . 故选: A. 3. B 若 ,则 模长相等,但它们的方向可以不同,故 不一定成立, 故 得不到 , 若 ,则 , 故“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件, 故选: B. 4. B 因为向量 与 的夹角为 ,且 ,可得 则 , 所以 . 故选: B. 5. A 若 ,则 ,即 , 向量 ,则 ,解得 . 故选: A 6. A 由 , 由已知 ,则 , 根据平面向量三点共线定理得 ,解得 . 故选: A 7. C 当 ,即 时, 取得最大值, 所以 的值可能为 选项. 故选: . 8. 解: 在 中, ,则 ,分别是边 的点,线段 的中点分别为 , , 两边平方得: , 又 , 当 时, 最小值为 ,即 的最小值为 . 故选: B. 9. ,即 , , , 选项正确, 选项错误, 选项正确 选项错误. 故选: BC 10. ABD 对于 ,因为 为非零向量,若 ,则 ,故 ,故 正确; 对于 ,若 , 则 ,故 ,故 正确; 对于 ,若 ,则 , 得到 ,不能确定 ,故 C 错误; 对于 , 所以 ,故 D 正确. 故选: ABD. 11. ABD 以线段 所在直线为 轴,线段 的中垂线为 轴,建立平面直角坐标系,如图, 则 . ... ...
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