福鼎四中 2025-2026 学年第二学期第一次月考高一数学试卷 第一部分(选择题共 58 分) 一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. ( ) A. B. 0 C. D. 2. 如图，在平行四边形 中， ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知平面内的非零向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在 中，若 ，则 () A. B. C. 135° D. 5. 在 中，已知 ，则 的形状为( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 6. 小河的对岸有一棵树,设树底为 ,树顶为 . 如图,为了测量这棵树的高度,在河的另一侧选取 两点,使得 在同一水平面上,且 三点共线, 米. 若在 处测得树顶 的仰角为 ,在 处测得树顶 的仰角为 ,则这棵树的高度 ( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是( ) A. -2 B. C. D. -1 8. 已知 为锐角 的外心， ， 若 ，且 . 记 ，则() A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 关于向量 ,下列命题中,正确的是 ( ) A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 10. 下列结论正确的是( ) A. 为平面内一定点，如 ，则 、 、 三点共线 B. 非零向量 满足 ,则 与 的夹角为锐角 C. 已知 是与 同方向的单位向量,则 D. 平面内 与动点 满足 ,则点 的轨迹必过 的内心 11. 如图， 为边长为 2 的等边三角形，以 的中点 为圆心，1 为半径作一个半圆， 点 为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是( ) A. B. C. 的最大值为 D. 若 ,则 的最大值为 第二部分(非选择题共 92 分) 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知两个非零向量 不共线,若 ,且 , 三点共线,则 _____. 13. 已知向量 与 的夹角是 ,且 ,则向量 在向量 上的投影向量是_____ 14. 已知对任意平面向量 ,把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ,叫做把点 绕点 沿逆时针方向旋转 角得到点 , 已知平面内点 ，点 ，把点 绕点 沿顺时针方向旋转 后得到点 ，则点 坐标为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. 已知向量 . (1)求 ； (2)已知 ，且 ，求向量 与向量 的夹角. 16. 已知向量 . (1)若 ，求实数 的值； ( 2 )若 ，求实数 的值. 17. 如图，在 中， ， ， ， 为 内一点，且 . (1)若 ，求 的长； (2)若 ，求 . 18. 在 中,角 的对边分别是 ,满足 . (1)求 ； (2)若 ， 的面积为 ，且 ，求 ； (3)在(2)的条件下， 为 的中点，求中线 的长. 19. 设 是平面内夹角成 的两条数轴, 两分别为 轴, 轴正方向同向的单位向量. 若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在此坐标系中的坐标,记 . 已知 . (1)若 . (i) 求 . (ii) 是否存在 上一点 ,使得 是以 为斜边的直角三角形 若存在,求出 点坐标; 若不存在, 请说明理由. (2)若 对 恒成立，求 的最大值. 1. D . 故选: D 2. B , 故选: B 3. A 因为 ,且 , 若 ,则 ,可得 , 所以 ,即充分性成立; 若 ,例如 ,则 ,即必要性不成立; 综上所述: “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选: A. 4. C 由余弦定理可得 ,故 . 5. D 在 中， ， 由正弦定理,得 . 又 . ,即 ,即 , 因为 , 或 ,即 或 , 为等腰三角形或直角三角形. 故选: D 6. D 在 中, 米, 在 中，由正弦定理可得 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ,解得 米, 在 中， ， ， 米， 所以 米, 故选: D. 7. B 建立如图所示的坐标系,以 中点为坐标原点, 则 , 设 ,则 , 则 当 时,取得最小值 , 故选: . 8. D 分别取 的中点为 , ... ...
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