福建省泉州市永春第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题 一、单选题 1．已知，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 B． C． D．3 3．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．不存在这样的实数k 4．已知数列满足，设的前n项和为，则（ ） A． B． C．1 D．2 5．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（ ） A．1 B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 8．已知，数列满足：，数列满足，，，定义表示不超过的最大整数，则数列的前7项和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，且与夹角为钝角，则x的取值可以是（ ） A．-2 B．1 C． D．2 10．设抛物线：的焦点为，点在抛物线上，点，若，且，则抛物线的方程可以为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点在线段上，则为定值 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为1 三、填空题 12．若两条直线与平行，则与间的距离是_____. 13．已知数列的通项公式为，则数列的最大项为第_____项. 14．如图，椭圆焦点三角形的，为的角平分线且，则椭圆离心率为_____． 四、解答题 15．已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为． (1)求双方需要进行第三局比赛的概率； (2)若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率． 16．四棱锥中，平面，，，，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 18．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为. (1)求椭圆的方程; (2)设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围. 19．已知函数，其中． (1)当时，求函数的最值； (2)①若恒成立，求a的最小值； ②证明：，其中． 参考答案 1．D 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 2．B 【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得， 圆心到直线的距离为， 圆的半径为1， 故切线长的最小值为， 故选：B． 3．B 【详解】， ， 令，解得： 或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在区间上单调， 或或 若，则，解得， 若，则，解得， 若，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 4．D 【详解】因为，所以， 所以且， 所以是首项为公比为的等比数列， 所以，所以，， 所以， 所以， 故选：D. 5．A 【详解】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建 ... ...
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