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课件网) 第17讲 正弦定理、余弦定理 数 学 目标导航 建网络 教材核心知识 课标要求 正弦定理、余弦定理 借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理 正弦定理、余弦定理的简单应用 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 知能构建 强技能 1.正弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则 定理 正弦定理 内容 变形 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; sin A=,sin B=,sin C=;a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 2.余弦定理 定理 余弦定理 内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=; cos B=; cos C= 4.解三角形 (1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b. (2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π求另一角. (3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况. (4)已知三边a,b,c,可以应用余弦定理求A,B,C. (5)判断三角形的形状通常利用正弦定理、余弦定理进行边角互化,根据边的关系或角的关系确定三角形的形状. (6)在△ABC中,a>b>c A>B>C sin A>sin B>sin C. 实战演练 明方向 考向1 正弦定理、余弦定理的应用 典例1在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2, A=45°,B=60°,则b=_____. 典例2在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,则角A可以为 ( ) A. B. C. D. BC 归纳总结应用正弦定理、余弦定理解三角形,如果角的条件充裕,如已知两角一对边,则选用正弦定理;若边的条件充裕,如已知两边一夹角或两边一对角,或三边或式子中有边的平方,则选用余弦定理,有时需要同时用到两个定理. 考向2 三角形的多解性 典例3(2024浙江高三阶段练习)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=1,b=,A=,则c=( ) A.1 B.2 C.1或2 D. C 解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即1=3+c2-2c× c2-3c+2=0, 解得c=1或c=2.故选C. 考向3 判定三角形形状 典例4在△ABC中,已知b2+c2-a2=bc,且2cos Bsin C=sin A,则该三角形的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 C 解析 由b2+c2-a2=bc,得2bccos A=bc, ∴cos A=.又A∈(0,π),∴A=. ∵2cos Bsin C=sin A,∴2ccos B=a,2accos B=a2. 由余弦定理得2accos B=a2+c2-b2,∴c2-b2=0,b=c. 又A=,∴△ABC是等边三角形.故选C. 归纳总结判定三角形的形状有两种方法:(1)化边,通过正弦定理把角的正弦转化为边,统一成边的条件进行推理,从而判定三角形的形状;(2)化角,把边的条件转化成角,用三角形内角和定理转化成两个角的关系. 考向4 解三角形的综合性问题 3 典例6在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcos A+acos B=2ccos A. (1)求角A的值; (2)已知D在边BC上,且BD=3DC,AD=3,求△ABC的面积的最大值.课时作业17 正弦定理、余弦定理 基础巩固 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=a,则B=( ) A. B. C. D. 2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=( ) A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶3 D.1∶1∶ 3.(2025浙江7月学考)已知△ABC的三个内角为A,B,C,则“cos C=0”是“△ABC为直角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=( ) A. B. C. D. 5.已知△ABC的三边分别为,且a2+b2=c2,则△ABC是( ) A.锐角三角形 ... ...
