北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高 2026 届 3 月练 习 数学试题 本试卷共 4 页, 共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上, 在 试卷上作答无效. 第一部分 (选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分) 1. 已知集合 ,若 ，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 2. 设复数 的共轭复数为 ,则 ( ) A. -3 B. 3 C. 5 D. 3. 抛物线 的准线方程是( ) A. B. C. D. 4. 已知 ,则 ( ) A. -1 B. 1 C. 32 D. 243 5. 在 中, 是 边上的中线,且 ,则 ( ) A. -20 B. 20 C. -10 D. 10 6. 存在实数 使得点 在直线 上,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 7. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列， ,则 的最小值是( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图 1,取边长为 6 的正方形纸板 分别为三边 的中点,先将等腰直角三角形 沿虚线段 裁去,再将剩下的五边形 沿线段 折起,连接 ,就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体(如图 2). 若棱 的长为 5， 则该五面体的体积为( ) 图1 图2 A. B. C. D. 30 10. 关于定义域为 的函数 ,下列说法中正确的个数为( ). ①存在两个单调递减函数 与 ②存在奇函数 与偶函数 ③存在单调递增函数 与偶函数 ④存在单调递增函数 与减函数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 11. 函数 的定义域为_____. 12. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线,则双曲线 的离心率为_____. 13. 能说明“若 ,则 ”为假命题的一组 的值可以是_____. 14. 已知在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 _____. 若 为锐角三角形，则 的取值范围为_____. 15. 已知数列 满足 ，则下列说法正确的是_____. ①. 若 且 ，则 单调递减 ②. 若存在无数多个 使得 ,则 或 ③ 当 时,存在 使 ④. 当 时, 三、解答题(共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.) 16. 如图,在边长为 2 的正方体 中， 是棱 上的点，平面 交棱 于点 . (1)证明: ； (2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度及此时点 到平面 的距离. 17. 函数 . (1)若 ，求 及 的单调递增区间； (2) 在 上单调递增，且存在 ，使 在 至少有 3 个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在唯一确定，求 的最小正周期. 条件①: ; 条件②: ; 条件③: . 注:如果选择的条件不符合要求, 第 (2) 问得 0 分; 如果选择多个符合要求的条件分别解答, 第一个解答计分. 18. 某汽车品牌计划推出两款新车型:纯电动版(EV)和插电混动版(PHEV)在某市随机调查了 300 名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表 (单位:人). 车型 低收入群体(<20 万/ 年) 中收入群体(20 万/年-50 万 /年) 高收入群体(>50万/ 年) 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立, 用频率估计概率. (1)从该市全体消费者中随机抽取 1 人，估计其愿意购买纯电动版(EV)的概率 ； (2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取 2 人，记 为这 4 人中愿意购买插电混动版 (PHEV) 的人数,求 的分布列和数学期望 ; (3)假设该市 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为 3:1:1，从 社区的全体消费者中随机抽取 1 人，将其愿意购买纯电动版(EV)的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小. 19. 已知函数 . (1)若 ，求不等式 的解集； (2)若 在 上存在极大值,求 的取值范围. 20. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 2 . (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线 与椭圆 相交于 ... ...
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