卢湾高级中学 2025 学年第二学期阶段性教学质量反馈 高三年级数学试卷 考试时间:120 钟 满分:150 分 一、填空题: 本大题共 12 题, 1-6 题每题 4 分, 7-12 题每题 5 分, 共 54 分. 填 对得全分, 否则一律得零分. 1. 已知集合 ，则 _____. 2. 若抛物线的准线为 ，则其标准方程为_____. 3. 已知向量 ，若 ，则 _____. 4. 已知一个圆锥的母线长为 3,侧面积 ,则此底面半径为_____. 5. 若 的展开式中 的系数是 -80,则实数 _____. 6. 已知 是第二象限角，且 ，则 _____. 7. 若数据1,2,3,4,5的均值和标准差分别为 和 ，则 _____. 8. 若实系数方程 有一个虚数根的模为 4，则实数 的取值范围为_____. 9. 从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取 3 个不同的数字,组成无重复数字的三位数,该三位数为偶数的概率为_____. 10. 已知给定的等差数列 的前 项和为 ,若当 与 时, 取得最大值,则 _____. 11. 已知函数 点 是函数 图象上不同的两个点,则 ( 为坐标原点) 的取值范围是_____. 12. 如图,某水库有一个半径为 1 百米的半圆形小岛,其圆心为 且直径 平行坝面. 坝面上点 满足 ,且 长度为 3 百米,为便于游客到小岛观光,打算从点 到小岛修建三段栈道 与 ,在半圆小岛上再修建栈道 以及 ,水面上的点 在线段 上，且 均与圆 相切，切点分别为 ，其中栈道 和小岛在同一个平面上. 设 ，则需要修建的栈道总长度的最小值为_____百米. 坝面 二、选择题: 本大题共 4 题, 13-14 题每题 4 分, 15-16 题每题 5 分, 共 18 分, 每题有且只有一个正确选项. 13. 已知一项统计结果表明有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则() A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为 99% C. 100 个吸烟者大约有 99 个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过 1% 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措. 某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类,对垃圾分类后处理垃圾 (千克) 所需的费用 (角) 的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则下列说法错误的是 ( ) 2 3 4 5 2 2.3 3.4 A. 变量 之间呈正相关关系 B. 可以预测当 时, 的值为 6 C. D. 由表格中数据知样本中心点为 15. 已知椭圆 的短轴长为 分别为左、右焦点,过椭圆上顶点 作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点 ，使得直线 与椭圆所在平面所成角为 ，则空间中的点 到平面 的距离为( ) A. 2 B. C. D. 16. 若存在实数 及正整数 ,使得 在区间 内恰有 2026 个零点, 则满足条件的正整数 的值的个数共有( ) A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 三、解答题:本大题共 6 题, 17-19 题每题 14 分, 20-21 题每题 18 分. 解答下 列各题必须写出必要的步骤. 17. 已知函数 . (1)若函数 为奇函数，求实数 的值； (2)若 ，解不等式 . 18. 如图,点 是以 为直径的半圆上的动点,已知 平面 . (1)证明:平面 平面 ； (2)若线段 上存在一点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 大小. 19. 某学校有 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近 100 天选择餐厅就餐情况统计如下: 选择餐厅情况(午餐，晚餐) (A, A) (A, B) (B, A) 甲 30 天 20 天 40 天 10 天 乙 20 天 25 天 15 天 40 天 为了吸引学生就餐, 餐厅推出就餐抽奖活动,获奖的概率为 ,而 餐厅推出就餐送贴纸活动, 每次就餐送一张. 假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立, 用频率估计概率. (1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率; ( 2 )记 为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求 的分布列和数学期望 ； (3)A餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖 ... ...
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