2026 天山中学 高三年级 下学期 3 月 月考 一、填空题(1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分) 1. 不等式 的解集是_____. 2. 在平面直角坐标系中,角 的终边经过点 ,则 _____. 3. 若复数 是 的一个根，则 _____. 4. 的展开式中， 的系数为_____.(用数字作答) 5. 将 10 个数据按照从小到大的顺序排列如下: ,若该组数据的 40% 分位数为 22,则 _____. 6. 公差不为零的等差数列 ,如果 成等比数列,求数列 的通项_____. 7. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行,则 _____. 8. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在 家庭的不同安排方法数有_____种. 9. 若向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则向量 与向量 夹角大小为_____. 10. 已知 在 上是严格增函数,且该函数在 上有最小值,那么 的取值范围是_____. 11. 在三棱锥 中, ,且三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表面积为_____. 12. 定义: 若 ,则称 是函数 的 倍伸缩周期函数. 设 ,且 是 的 2 倍伸缩周期函数. 若对于任意的 ,都有 ，则实数 的最大值为_____ 二、选择题 (13-14 每小题 4 分, 15-16 每小题 5 分, 共 18 分) 13. 已知直线 . 则 “ ” 是 “ ” 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中真命题是( ) A. 若 ,则 ; B. 若 ,则 ; C. 若 ,则 ; D. 若 ,则 . 15. 有 6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6从中有放回地随机取两次,每次取 1 个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 6”, 则 ( ). A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立 C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 16. 对于无穷数列 ,给出如下三个性质: ; ②对于任意正整数 ,都有 ; ③对于任意正整数 ,存在正整数 ,使得 定义: 同时满足性质①和 ②的数列为“ 数列”，同时满足性质①和③的数列为“ 数列”，则下列说法正确的是( ) A. 若 为“ 数列”，则 为“ 数列” B. 若 ，则 为 “ 数列”， C. 若 ,则 为 “ 数列” D. 若等比数列 为“ 数列” 则 为“ 数列” 三、解答题(共 78 分) 17. 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, 平面 分别为棱 的中点, . (1)求证: 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 18. 已知向量 ,设函数 . (1)当 时，求函数 的值域； (2)已知在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，求 面积的最大值. 19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏, 同时能提高资源循环利用的效率. 目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法, 即干垃圾, 湿垃圾, 可回收垃圾与有害垃圾. 某校为调查学生对垃圾分类的了解程度, 随机抽取 100 名学生作为样本, 按照了解程度分为 等级和 等级,得到如下列联表: 男生 女生 总计 等级 40 20 60 等级 20 20 40 总计 60 40 100 (1)根据表中的数据回答:学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定:显著性水平 ) 附: ,其中 . (2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛. 每局比赛由二人参加，主持人 和 轮流提问，先赢 3 局者获得奖项并结束比赛. 甲，乙两人参加比赛， 已知主持人 提问甲赢的概率为 ，主持人 提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立， 且每局都分输赢. 现抽签决定第一局由主持人 提问. (i) 求比赛只进行 3 局就结束的概率; (ii) 设 为结束比赛时甲赢的局数,求 的分布和数学期望 . 20. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 . (1)求椭圆 的方程； (2)设与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点(异于椭圆顶点)，点 为线段 的中 ... ...
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