2026 届高三下学期三月月考 数学试题 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 ，则 ( ) A. B. -i C. D. 2. 在平行四边形 中, ,则 ( ) A. -3 B. 1 C. 2 D. 3 3. 设 ，则在复平面内， 对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若 ,且 ,则 的最小值为 ( ) A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 5. 如图,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交 的左支于 两点,若 成等差数列,且 ,则此双曲线的离心率是( ) A. B. C. D. 6.1,3,4,6,8,12的第 60 百分位数为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 设 分别为双曲线 的左右焦点,过 的直线交双曲线右支于 两点,若 ,则双曲线的离心率可以是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,则 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ，使得 ， ， 成等差数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 对于一个古典概型的样本空间 和事件 与 ,其中 ,则 ( ) A. B. C. 事件 与 互斥但不对立 D. 事件 与 相互独立 10. 如图,圆台的上下底面半径分别为 1 和 分别为上下底面圆周上的点, 为圆台的轴截面且 ，则() A. 为母线 B. C. D. 平面 与平面 的夹角等于 11. 已知等式 其中 是自然对数的底数,将 视为自变量 , ， 为 的函数，记为 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 若方程 有 4 个不等的实根,则 D. 当 时,若 的两实根为 ,则 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在该抛物线上，且 ，则 到 轴的距离为_____. 13. 已知 的外心为 ， ，则 _____. 14. 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个正八面体, 观察它与地面接触的面上的数字. 事件 ,事件 ,若事件 满足 ,则满足条件的事件 的个数为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 . (1)求 的大小； (2)已知 ，证明: 是等腰三角形. 16. 如图，在直三棱柱 中， 、 分别为 ， 的中点，点 在 上， 且 . (1)求证: 平面 ； (2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 设数列 满足 . (1)证明:数列 为等差数列； (2)若数列 的前 项和为 ，求证: ； (3)设 ，求数列 的最大项. 18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题， 若两人合计答对题数大于或等于 3 ，则取得胜利，并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题); 若两人合计答错两题则中止答题, 已知, 甲、乙答对每道题的概率分别为 ,假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响. (1) 当 时,设 为乙答题的道数,求 的分布列及期望; ( 2 )当 时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值. 19. 已知函数 ,其中 (1)证明: 在区间 上存在唯一的极小值点 ； (2)若极小值 ，证明: ； (3)当 有两个不同的零点 ， 时，证明: . 1. D 因为 ,则 , 故选: D. 2. B 因为 , 在平行四边形 中, , 所以 . 3. D 显然 ,故 ,其对应的点位于第四象限, 故选:D 4. C 由 ,得 , 则 ,解得 ,因此 , 当且仅当 时取等号,所以当 时, 取得最小值 25 . 故选: C 5. C 设 ,则 ,令 ,即 . 因为 成等差数列,所以 代入得: ，解得 ，则 . 所以 ， 在 中, 即 化简可得: . 所以 . 因为 ,所以 , 所以 . 所以 求得: , 所以 . 故选: C. 6. B , 所以第 60 百分位数为第 4 个数,即为 6 , 故选: B 7. A 如图,设 , 由双曲线的定义知 ,所以 ,又 ,所以 ... ...
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