第三章 托勒密定理及应用 习题A 1．由和，有，，对四边形应用托勒密定理，有．令，得方程，求得(舍去了负值)．于是．又，求得，或，，总之为所求． 2．连，，由，，知 ，即．设其比值为（为参数），则，，对四边形应用托勒密定理．有，即注意到，消去，得． 3．连，在四边形中应用托勒密定理，有． 4．连，设，，的半径为．由为上中线，可令．由正弦定理有，．对四边形应用托勒密定理，有，消去，两边同乘以 得，亦即 ，由此即证． 5．连，则，．对四边形应用托勒密定理，有 ，即，由此整理即证． 6．对四边形应用托勒密定理，有，即，同理，对四边形，，分别应用托勒密定理，有，，．由此四式即证得结论． 7．设圆心到，，的距离分别为，，，连接并延长与交于，连，，则，，对四边形应用托勒密定理有．同理，，．加之， 但，以上两式相加得．但，， ，由此即证． 8．作一直径的圆，在的两侧分别取，二点，使，，于是 ，，对四边形应用托勒密定理，有，将此式与原方程比较得．在中，由余弦定理，有， 知，故为所求． 9．作直径的圆，并作弦，的圆内接四边形，则，．应用托勒密定理，有，即，由此得，即也是圆的直径，故． 10．当时，，当时，作代换，，，即，以为直径作圆，作弦，作弦，则， ．由托勒密定理及，有，亦有 ，即，故． 11．连，，，对四边形应用托勒密定理，有，而，有．同理，，由此即证． 12．不失一般性，令点位于内部（其中为中心），作于，于，于．由，，，四点共圆，有，知，，，四点共圆，即，，，，共圆，推知是正三角形，在中，有，即，故． 13．作外接圆的直径，并设，，则，直径．对四边形应用托勒密定理，有．从而 ． 14．令，对四边形应用托勒密定理，有， 即有．对四边形应用托勒密定理，有，即． 15．对四边形应用托勒密定理，，即．又及，有，，于是，注意到即证． 16．连，和，对四边形应用托勒密定理，有，又，，则，有，令其比值为，则，消去，注意到即证． 17．作交于，则，．对四边形应用托勒密定理，． 由平分，知，即，由此知，有．故 ． 同理，有． 此两式相减有，故． 18．在直径的圆中，在两个半圆上分别取点和，使，，则，．由托勒密定理，有，与原方程比较得．在中，由余弦定理，有，则，故． 19．由，在直径的圆中，在一半圆上取点，使，；在另一半圆上取中点，则．连，知，由托勒密定理，有， 即又在中，（当与或重合时，取等号)，故． 20．设，则． 当时，命题显然成立，当时，在直径的一半圆上取点，使，， 因，则可在另一半圆上取点，使，，由托勒密定理，有，即， 但． 21．设点在劣弧上，连，，，分别交小圆于点，，．连，，，过点作公切线．由，有，有．又 ，，有，即．同理，．对圆内接四边形应用托勒密定理，有，而，则 ，故． 22．令，，．由平分，有，亦有，即．同理，．由，有，从而，注意到 ，有，即，即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，故，因此，． 23．由，， ，又， 则，由托勒密定理之逆，知有外接圆． 24．连，，由，且，有，亦有， 即．在圆内接四边形中，应用托勒密定理，有，于是．又，，有，有．于是，故． 习题B 1．在弧上取点，使，连，，令，，，易证，即．对四边形，分别应用托勒密定理，有，．又在弧上取点，使，由，有对四边形应用托勒密定理，有．又由，有． 于是，，由此即求得，． 2．作的外接圆，分别截，于点，，．易证，即，，即，．对四边形应用托勒密定理，有 ，故．（ ） 同理，由托勒密定理，有． 于是， 即 从而． 由( )式减去上式，有，即 ． 又，，，故，其中等号当且仅当为的中心时取得． 3．设四边形内接于以为圆心，半径为的圆，设点在弦，，，，，上的射影分别为点，，，，．记，，与，为与的面积与半周长，，为它们的内切 ... ...
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