中考数学压轴题解法探究（7）—图形运动中的函数关系问题

中考数学压轴题解题策略 图形运动中的函数关系问题 【专题解析】 考题研究： 在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等. 这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想. 解题攻略： 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题． 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和． 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用． 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．21*cnjy*com 类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．21*cnjy*com 由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例． 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域． 关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错． 解题思路： 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题． 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单． 一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值． 【真题精讲】 类型一：由比例线段产生的函数关系问题 典例1：（2016·四川攀枝花）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC． （1）当t为何值时，点Q与点D重合？ （2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长． （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值； （2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长； （3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8， ∴由勾股定理可求得：AB=10， 由题意知：OQ=AP=t， ∴AC=2t， ∵AC是⊙P的直径， ∴∠CDA=90°， ∴CD∥OB， ∴△ACD∽△ABO， ∴， ∴AD=， 当Q与D重合时， AD+OQ=OA， ∴+t=6， ∴t=； （2）当⊙Q经过A点时，如图1， OQ=OA﹣QA=4， ∴t==4s， ∴PA=4， ∴BP=AB﹣PA=6， 过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G， 连接PF， ∴PE∥OA， ∴△PEB∽△AOB， ∴， ... ...