中考数学压轴题解法探究（9）—等腰三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 等腰三角形的存在性问题解题策略 【专题解析】 考题研究： 近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。【来源：21cnj*y.co*m】 解题攻略： 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．21cnjy.com ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．21教育名师原创作品 解题思路： 几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．? 解题类型： 动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题 背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景 【真题精讲】 类型一：肯定型存在性问题 典例1：（2016·吉林·10分）如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点21教育网 （1）当m=2时，a=﹣，当m=3时，a=﹣； （2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论； （3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=﹣； （4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比． 【分析】二次函数综合题．（1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可； （2）同（1）的方法得出结论 （3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可； （4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可． 【解答】解：（1）如图1， ∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m， ∴B（2m，0）， ∵以OB为边向上作等边三角形AOB， ∴AM=m，OM=m， ∴A（m， m）， ∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 ∴， ∴ 当m=2时，a=﹣， 当m=3时，a=﹣， 故答案为：﹣，﹣； （2）a=﹣ 理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m， ∴B（2m，0）， ∵以OB为边向上作等边三角形AOB， ∴AM=m，OM=m， ∴A（m， m）， ∵抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 ∴， ∴ ∴a=﹣， （3）如图2， ∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n， 设A（e，d+n），∴P（e﹣n，d），Q（e+n，d）， ∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上， ∴， ∴， ①﹣②化简得，2ae﹣an+b=1④， ①﹣③化简得，﹣2ae﹣an﹣b=1⑤， ④﹣⑤化简得，an=﹣1， ∴a=﹣ 故答案为a=﹣， （4）∵OB的长度为2m，AM=m， ∴S△AOB=OB×AM=2m×m ... ...