中考数学压轴题解法探究（10）—直角三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略 直角三角形的存在性问题 【专题解析】 考题研究： 这类问题主要是已知直角三角形的一边（即直角三角形的两个点确定），求解第三点。这类问题主要是和动点问题结合在一起，主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力，也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。21cnjy.com 解题攻略： 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 解题类型及其思路： 当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究：（1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理；（2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，第一当已知点处作直角的方法①，②三角形相似，③勾股定理；第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角2·1·c·n·j·y 【真题精讲】 类型一：当一动点在直线上运动时 典例1：（2016·湖北黄石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明； （2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可； （3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴∠EAF=∠DAE，AD=AF， 又∵∠BAC=2∠DAE， ∴∠BAC=∠DAF， ∵AB=AC， ∴=， ∴△ADF∽△ABC； （2）∵点D关于直线AE的对称点为F， ∴EF=DE，AF=AD， ∵α=45°， ∴∠BAD=90°﹣∠CAD， ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2， 所以，DE2=BD2+CE2； （3）DE2=BD2+CE2还能成立． 理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF， 由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD， ∵α=45°， ∴∠BAD=90°﹣∠CAD， ∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD， ∴∠BAD=∠CAF， 在△ABD和△ACF中，， ∴△ABD≌△ACF（SAS）， ∴CF=BD，∠ACF=∠B， ∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴ ... ...