【解题秘籍】一次函数中的特殊四边形的点坐标确定问题

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 【解题秘籍】 一次函数中的特殊四边形的点坐标确定问题 一、例题引入 例1 类型：已知3个点确定第4个点的坐标 （2016春 惠安县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．21*cnjy*com （1）求点D的坐标； （2）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】 【说明】先给出第（2）题的一般解法，再给出运用【简便】的方法。 【解答】解：（1）设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上， ∴2=m﹣2，∴m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）； 【一般解法】 （2）当y=0时，x﹣2=0， 解得x=2， ∴OE=2， ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴若DE是对角线，则EM=CD=3， ∴OM=EM﹣OE=3﹣2=1， 此时，点M的坐标为（﹣1，0）， 若CE是对角线，则EM=CD=3， OM=OE+EM=2+3=5， 此时，点M的坐标为（5，0）， 若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（，2）， 设点M的坐标为（x，y）， 则=，=2， 解得x=3，y=4， 此时，点M的坐标为（3，4）， 综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）． 【点评】一般解法中，采用几何中的方法，运用中心坐标及中点坐标公式做，做起来有些复杂，而且中点坐标公式在初中阶段是没有学过的，所以这样做的方法不可取，下面给出简便的方法，并且做这类题，下面的简便方法都适用。 【简便解法】 （2）当y=0时，x﹣2=0，解得x=2，∴E（0,2）， ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，D（1,2）、C（4,2）、E（2,0）， ∴①当CD//ME时， 若C与E对应，M点的横坐标是：1+（2-4）=-1，纵坐标是：2+（0-2）=0，则M（-1,0） 若D与E对应，M点的横坐标是：4+（2-1）=5，纵坐标是：2+（0-2）=0，则 M（5，0）； ②当CE//DM时， 若C与D对应，M点的横坐标是：2+（1-4）=-1，纵坐标是：0+（2-2）=0，则M（-1,0） 若E与D对应，M点的横坐标是：4+（1-2）=3，纵坐标是：2+（2-0）=4，则M（3,4）； 综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）． 【点评】（1）简便方法中运用平移的知识，正好是《七下人版教材中的第7章 平面直角坐标系的内容》，讲的是在坐标平面中线段平移后的坐标变化，主要用到的是“（左-，下-）和（右+，上+）”，以及线段平移中前后相对应的点的坐标变化相同。（2）注意一般找第4个点时最多有3种情况，要注意看题目还有没有其他限制条件。21世纪教育网版权所有 二、解题秘籍 【秘籍·知识点回顾】 一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度。21·cn·jy·com 如下图，AB经过平移与CD重合，A与C对应，B与D对应，它们的平移过程相同，根据平移的性质可知，AB//CD，且AB=CD，连接AC，BD，则四边形ABDC是平行四边形。 所以可以根据这个方法去找平行四边形的第四个点的坐标！ 【秘籍再说明】 ∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，D（1,2）、C（4,2）、E（2,0）， ∴①当CD//ME时， 【说明：看作CD经过平移与ME重合】 若C与E对应，M点的横坐标是：1+（2-4）=-1，纵坐标是：2+（0-2）=0，则M（-1,0） 【说明：由CD平移到EM，C与E对应，可以求出横（2-4）、纵（0-2）的平移规则，从而根据D的坐标求出M点的坐标】 若D与E对应，M点的横坐标是：4+（2-1）=5，纵坐标是：2+（0-2）=0， ... ...