21世纪教育网 2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 热点18 双曲线与抛物线 【热点考法】本热点双曲线考题形式为选择填空题、抛物线为选择填空题或解答题，与向量、函数、不等式结合主要考查双曲线的定义、标准方程、几何性质与抛物线的定义、方程、几何性质及直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、数形结合思想与转化与化归思想，是中档题或难题，分值为10至15分. 【热点考向】 考向一 双曲线定义及其标准方程 【解决法宝】1.涉及双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用双曲线的定义； 求解双曲线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的的值，最后代入写出双曲线的标准方程. 例1．【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，5】已知是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且满足，则的面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 【分析】首先设出并由定义可得等式，然后结合已知条件可得出另一个等式，再联立两个等式即可求出的值，最后由三角形的面积计算公式即可得出所求的结果. 考向二 抛物线的定义与标准方程 【解决法宝】1.涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化为到抛物线的准线的距离； 2.抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的的值，最后代入写出抛物线的标准方程. 例2 【广东海珠区2017届上学期高三综合测试（一），11】过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则的值等于（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】设出直线方程，将直线方程代入抛物线，化为关于的一元二次方程，将横坐标用表示出来，再利用抛物线定义将、用表示出来，即可求出的值. 考向三 双曲线、抛物线的几何性质 【解决法宝】1.双曲线的离心率是双曲线的主要性质，是反映双曲线的开口大小的一个量，在求解有关离的几何意义是焦点到准线的距离. 例3． 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，16】已知为双曲线的右焦点，过原点的直线与双曲线交于两点，且的面积为，则该双曲线的离心率为 ． 【分析】由已知即双曲线的对称性知四边形为矩形，利用双曲线的定义，由三角形面积公式，＝，在中利用勾股定理即可的的关系式，从而求出离心率. 【解析】因为，所以．设双曲线的左焦点为，则由双曲线的对称性知四边形为矩形，则有．由双曲线的定义知，－＝，所以．因为，所以＝．在中，，即＝，所以，把代入，并整理，得，所以＝． 考向四 直线与抛物线的位置关系 【解决法宝】解决直线与抛物线的位置关系问题，常采用“设而不求”的方法，步骤如下： （1）先根据条件设出直线方程或抛物线方程，联立两个方程，消去或，整理成关于的二次方程； （2）设直线与椭圆的交点坐标为，根据根与系数的关系，写出两根和与两根积的表达式； （3）将题中的条件用的坐标表示，然后化简整理．但要注意的是，对于直线与抛物线的位置关系的判定时，联立方程后首先要看二次项系数是否为0. 例4【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，20】（本小题满分12分） 已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点. （1）求抛物线的方程； （2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值. 【分析】设，，联立方程组，消元得，所以，.又，所以，从而求出结果.（2）因为，，因此 ，又，， 代入即可求出定值. 【解析】（1）解：设，，联立方程组，消元得， 所以，.……………………………………………………………………………2分 又，……………………………………………………6分 所以，从而.…………………………………………… ... ...
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