天津市红桥区2017届高三二模数学（理）试题 扫描版含答案

高三数学（理）(1705) 一、选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A B C A 二、填空题（每小题5分，共30分） 9． 10．14 11． 12．1 13． 14．③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：(1)f(x)＝sin 2x·＋3sin 2x－cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x＝................................6 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.......................................7 （Ⅱ）因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，，， 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2........................13 （16）（本小题满分13分） （Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：,................................1 甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=×+×+×=...........4 （Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8.....................................................5 P(ξ=0)=×= P(ξ=2)=×+×= P(ξ=4)=×+×+×= P(ξ=6)=×+×= P(ξ=8)=×= .......................................................10 数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8=................................13 （17）（本小题满分13分） （Ⅰ）连接 ， 为正方形， 为 中点， 为 中点． 所以在 中，，且 ， 所以 ．........................................................3 （Ⅱ）因为 ， 为正方形，， 所以 ． ....................................4 所以 ，.................................5 又 ， 所以 是等腰直角三角形， 且 即 .........................6 ，且 所以 又 ， 所以 ．..............................7 （Ⅲ）如图，取 的中点 ，连接 ，． 因为 ，所以 ． 因为 ， 所以 ，........................................8 而 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 又 是正方形，故 ． 因为 ， 所以 ，． 以 为原点，直线 ，， 分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，.....................9 则有 ，，，． 若在 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ， 连接 ， 设 ． 由（Ⅱ）知平面 的法向量为 ． 设平面 的法向量为 ． 因为 ，， 所以由 ， 可得 ， 令 ，则 ，， 故 ， 所以 ，..............................12 解得，． 所以，在线段 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ．.....13 （本小题满分13分） （Ⅰ）由题意可得： ..........................2 ..........................4 （Ⅱ）①当不存在时，， ..........................5 ②当存在时，设直线为， ....................7 ..........................8 ..........................9 ...........................11 当且仅当 即时等号成立 ..........................12 ， ∴面积的最大值为，此时直线方程. ..........................13 （19）（本小题满分14分） （Ⅰ）由 得 ，............................1 相减并整理得 又由于 ， 则 ，故是等差数列．........................3 因为 ， 所以 故 ．.......................5 （Ⅱ）当 ， 时，，， 可解得 ，，........................................7 猜想 使 成立．........................8 证明： 恒成立． 令 ②﹣①得： ， 故存在等比数列符合题意． ..........................10 （Ⅲ）..........................12 则 故 ．........................................................................14 （本小题满分14分） （Ⅰ）法一：根据题意：令 ，可得 ， 所以 经验证，可得当 时，对任意 ，都有 ， 所以 .......................3 法二：因为 所以要使上式对任意 恒成立，则须有 即 .......................3 （Ⅱ ... ...