一道三角形内接矩形问题的变式探究 一、例题呈现及一般结论 例1 如图1，在等腰中，底边cm，高cm，四边形是正方形. (1) 与相似吗 为什么 (2)求正方形的边长. 解 ∵四边形是正方形，所以，∴，. ∴，可得. 设正方形的边长为 cm，则cm，∴，解得. 即正方形的边长为24cm. 点评 此类问题称为“三角形内接矩形”问题.解决这类问题的基本策略是，由两个三角形相似，得到两个三角形对应边的比等于对应高的比，从而建立等量关系，通过解方程获得问题的答案. 通过这道题可得到一个更一般的结论. 如图2，在中，，垂足为，四边形的四个顶点分别在的三边上，，. (1)若四边形是正方形，且它的边长为，则. (2)若四边形是矩形，且它的两边长分别为，，则 证明从略. 二、变式探究 1.求矩形的边长 改变例1中等腰和正方形的形状，同时改变设问方式. 例2 如图3，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是( ). (A) (B) (C) (D) 解 易知，， ，, 由，知 ，∴. 化简得，故选A. 2.求矩形的周长 改变图1中三角形的边长，将正方形变为矩形，且增加内接矩形的个数，改变设问方式. 例4 如图4，在等腰中，底边上的高，在边上有100个不同的点，，…，，过这100个点分别作的内接矩形，，….设第个内接矩形的周长分别为，，…，，求的值. 解 设，. ∵，∴. 由上述一般结论，易知, ∴，即. ∴. 同理可得, ∴. 点评 本题具有很强的探索性，在求解本题时，考虑一个矩形内接于三角形，得到它的长与宽之间的关系，从而问题迎刃而解. 3.与矩形的面积有关的综合性问题 改变例1中等腰的形状，再改变与的长，将正方形变为矩形. 例5 如图5，在中，，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点. (1)求证:. (2)设，当为何值时，矩形的面积最大 并求其最大值; (3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动(当点与点重合时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式. 解(1) 证法与例1相同，从略. (2)由(1)得，即. . . ，∴当时，有最大值，最大值为20. (3)由(2)得，, ∴，所以是等腰直角三角形.， . ①如图6，当时， 设、分别交于点、，则是等腰直角三角形，， . ②如图7，当时， 则，. . ③如图8，当时， 设交于点, 则， . 例6 如图9，在锐角中，，的面积为48，，分别是边，上的两个动点(不与，重合)，且保持，以为边，在点的异侧作正方形. (I)如图10，当正方形的边在上时，求正方形的边长; (2)设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出的取值范围，并求出的最大值. 解 (1)当正方形的边在上时，如图10，过点作边上的高，交于，垂足为. ，，. ∵，, . 又, ，解之得. 所以当正方形的边在上时，它的边长为4. 8. (2)分两种情况: ①当正方形在的内部时，如图9，与正方形重叠部分的面积为正方形的面积，由于，故，此时的范围是. ②当正方形的一部分在外部时，如图11，设与交于点，与交于点，的高交于. ∵，, ∴，. 而, ，解得. ，即. 由题意，，，, 因此，与正方形重叠部分的面积为 . 当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为. 当时，因为，易知当时，与正方形重叠部分的面积的最大值为24. 因为，所以所求最大值为24. ... ...
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