华罗庚（-），江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改进、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果．年当选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士． 12．不定方程（组） 解读课标 如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）． 不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在． 简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是（，，为整数，且），与之相关的性质有： 1．无整数解的判定方法 若，而，则方程没有整数解． 2．全部整数解的表示 若方程有一组解（特解）．，则方程全部整数解（通解）可表示为：（为整数）． 问题解决 例1 某班级为筹备运动会，准备用元购买两种运动服，其中甲种运动服元/套，乙种运动服元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案． 试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为套、套，则，即．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数． 例2 如图，在高速公路上从千米处开始，每隔千米设一个速度限制标志，而且从千米处开始，每隔千米设一个测速照相标志，则刚好在千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）． A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为、（，为自然数)，问题转化为求不定方程的正整数解． 例3 （1）求方程的全部整数解； （2）求方程的正整数解． 试一试 对于（），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解． 例4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐人，就会余下人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于人） 试一试 设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，则，解此不定方程即可． 例5 购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需元．问购买铅笔支，作业本个，圆珠笔支共需多少元？ 分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为、、，则，需求的值． 解法1 原方程组变形为，解得 ． 解法2 把直接用、的式子表示． ． 解法3 ， 需求出，原方程组变形为 ①②，得， ． 百钱买百鸡 例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为，，，则有通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解． ②①，得， 即 ③ 到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解． 由③得，令，则， ， ， 这样，得到方程组的通解为（为非负整数）． 解得． 令，，，，得下列四组解： ，，， 数学冲浪 1．若方程有一组解为则方程的通解可表示为_____． 2．若方程有一组整数解为则由此得方程的通解为_____． 3．用一元钱买面值分、分、角的种邮票共张，每种邮票至少买一张，共有_____种不同的买法． 4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成，乙种盆景由朵红花和朵黄花搭配而成，丙种盆景由朵红花、朵黄花和朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了朵红花，朵紫花，则黄花一共用了_____朵． 5．方程的正整数解的个数是（ ）． A． B． C． D． 6．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为元、元、元，购买这些钢笔需要花元；经过 ... ...
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