21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 §1.2 因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它 出卷网与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．21世纪教育网版权所有 1.公式法 在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式)； (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： ； 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．21教育网 【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．21·cn·jy·com 解：(1) ． (2) 2.2提取公因式法与分组分解法 【例3】把分解因式． 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是. 解： 【例4】分解因式：（1）； （2）． 解：（1）； （2）． 【例5】分解因式： （1）；（2）． 解：（1）===． 或＝＝＝ ＝＝． （2）== =． 或 = ==． 【例6】把分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．21·世纪*教育网 解： 2.3 十字相乘法 2.3.1 形如型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此，， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 解：（1）如图1.1－1，将二次项 出卷网x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．21cnjy.com 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）． （2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图4，得 ＝ （4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解 (1) (2) (3) (4) 解：(1) ，∴ ． (2) ，∴． (3) ， ∴． (4) ， ∴． 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式． 解：(1) ． (2) ． 2.3.2 形如一般二次三项式型的因式分解 我们知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．【来源：21·世纪·教育·网】 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法． 【例9】把下列各式因式分解： (1) (2) 解：(1) (2) 说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当 出卷网二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减 ... ...
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