21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 §3.3 分式不等式和特殊的高次不等式的解法 1．简单分式不等式的解法 【例1】 解不等式：． 解：解法1：化为两个不等式组来解： ∵x∈φ或， ∴原不等式的解集是． 解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用 “符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．21cnjy.com ∵， ∴原不等式的解集是. 小结：（1）； （2）； 练习1：解下列不等式： (1) (2) 解：（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． (2) ∵ ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． 【例2】解不等式． 解：原不等式可化为： ，所以原不等式的解集为． 说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． 练习2：解下列不等式 （1） （2） 解：（1），所以原不等式的解集为． （2），所以原不等式的解集为． 归纳小结：解分式不等式的一般步骤是：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式，然后转为． 2．简单的高次不等式的解法 【例1】解不等式：； 解法一（列表法）：①检查各因式中的符号均正； ②求得相应方程的根为：，1，3； ③列表如下： -2 1 3 x+2 - + + + x-1 - - + + x-3 - - - + 各因式积 - + - + ④由上表可知，原不等式的解集为：． 小结：此法叫列表法，解题步骤是： ①将不等式化为形式（各项的系数化为正数），令，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，个分界点把数轴分成部分……；21世纪教育网版权所有 ②按各根把实数分成的部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；21教育网 ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面各因式积的符号写出不等式的解集． 解法二：（穿根法） ①的根是，1，3，在数轴上表示这三个数， ②由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点 ③若不等式（的系数化“+”后）是“> 0”，则找“线”在轴上方的区间； 若不等式是“< 0 ”,则找“线”在轴下方的区间. 由图可知，原不等式的解集为：． 小结：此法叫穿根法，解题步骤是： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间．21·cn·jy·com 注意：奇穿偶不穿 【例2】 解不等式： 解：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为：. 说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ． 练习1：解不等式： 解：①将原不等式化为：； ②求得相应方程的根为：（二重），，； ③在数轴上表示各根并穿线，如图： ④∴原不等式的解集是． 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉．2·1·c·n·j·y 练习2：解不等式 （1） （2） （3） 解：（1）， 所以原不等式的解集为． （2）， 所以原不等式的解集为． （3） 所以原不等式的解集为． 1．解下列不等式： （1） （2） （3） （4） （5） 2．解下列不等式： (1) （2） （3） （4） 3．解下列不等式： §3.3 分式不等式和特殊的高次不等式的解法答案 1．（1） （2） （3 ... ...
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