21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 §4.4 函数的奇偶性 回顾过去 在初中我们学过对称图形，观察生活中的一些图片，它们有什么特点？ 画出，的图象，思考并讨论以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）相应的两个函数值对应的值是如何体现这些特征的？ 实际上，对于定义域内任意的一个，都有都成立吗？ 答案是显然的，，． 1．偶函数 (even function) 一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数． 例如，函数，都是偶函数． 2．奇函数(odd function) 观察函数和的图象，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？ 一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做奇函数． 注意事项： （1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质． （2）定义域关于原点对称． （3）两个性质：①一个函数为奇函数它的图象关于原点对称； ②一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称． （4）如果一个函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性. （5）奇函数若在处有定义，则 【例1】判断的奇偶性，根据在轴右侧的图象，画出它在轴左侧的图象． 解：的定义域为R，关于原点对称， ， 所以是奇函数． 练习1：函数是偶函数，它在轴右边的图象如上图，画出在轴左边的图象. 【例2】判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，，为偶函数； （2）函数的定义域为R，关于原点对称，，为奇函数； （3）函数的定义域为，关于原点对称，，为奇函数； （4）函数的定义域为，关于原点对称，，为偶函数． 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤： （1）先求定义域，看是否关于原点对称； （2）再判断 或 是否恒成立； （3）下结论：①为奇函数； ②为偶函数； ③且既为奇函数又为偶函数； ④且非奇非偶函数． 练习1：判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 解：（1）奇函数；（2）偶函数；（3偶函数；（4）既奇又偶；（5）奇函数；（6）非奇非偶 【例3】已知函数，判断的奇偶性． 提示：分段函数的奇偶性要对每一段分别判断． 解：函数的定义域为． 当时，，； 当时，，． 所以，对任意的，都有． 所以是一个奇函数． 练习1：判断的奇偶性． 解：当时，，； 当时，； 当时，，． 所以，对任意的，都有，所以是一个奇函数． 3．奇偶性的应用 3.1 利用函数奇偶性求函数解析式 【例4】若是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． 【思路点拨】 解答本题可将的解析式转化到上求解． 解：法一：∵是定义在上的奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. 当时，，∴f(x)＝－f(－x)＝x(2＋x)． ∴函数f(x)的解析式为 法二：∵是R上的奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0. 令t＝－x，若x<0，则t>0，且x＝－t. ∵f(x)＝x(2－x)(x<0)，∴ f(－t)＝－t(2＋t)，即－f(t)＝－t(2＋t)．∴f(t)＝t(2＋t)， ∴当x>0时，f(x)＝x(2＋x)． ∴函数的解析式为. 说明：此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入． ③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 练习：若将题设中的“是奇函数”改为“是偶函数，”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？ 解：∵是定义在上的偶函数，∴， 当时，，∴ ∴函数的解析式为 3.2 利用函数奇偶性求参数的值 【例5】若函数是偶函数，定义域为，则_____，_____． 解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得．由函数为偶函数，所以，即对任意均成立，所以． 练习：已知函数是定义在上的奇函数，且，求的解析式． 解：方法一： ∵是定义在上的奇函数，∴，即，所以． ∴，又，∴，． ∴． ... ...
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