2018高考数学考点突破--抛物线（学案）

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 抛物线 【考点梳理】 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径|PF| x0＋ －x0＋ y0＋ －y0＋ 【考点突破】 考点一、抛物线的定义及应用 【例1】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1　 B．2 C．4 D．8 (2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为_____． [答案] (1)A　(2)2 [解析] (1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝， 因此焦点F，准线l的方程为x＝－. 设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|. 从而x0＋＝x0，解得x0＝1. (2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1. 根据抛物线的定义，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1. 因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2. 所以|AC|＋|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值， 又|AB|＝2p＝4为最小值． 故|AC|＋|BD|的最小值为4－2＝2. 【类题通法】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快． 2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出． 【对点训练】 1. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为_____． [答案] [解析] 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小． 连接AF交抛物线于点P，此时最小值为 |AF|＝＝. 考点二、抛物线的标准方程与几何性质 【例2】　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝y　　　　　 B．x2＝y或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　) A. B．1 C. D．2 [答案] (1)D　(2)D [解析] (1)将y＝ax2化为x2＝y. 当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝. 当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－. ∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y. (2)由抛物线C：y2＝4x知p＝2. ∴焦点F(1,0)． 又曲线y＝(k>0)与曲线C交于点P，且PF⊥x轴． ∴P(1,2)， 将点P(1,2)代入y＝，得k＝2. 【类题通法】 1.求抛物线的标准方程的方法： (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程． 【对点训练】 2．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为 (　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ 3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_____． [答案] 2．B 3．x＝－2 [解析]　2．设M(x ... ...