【备考2018】高考数学真题精讲精练专题8.7 抛物线（2013-2017）

2018年高考数学一轮复习真题精讲精练（2013-2017）： 8.7 抛物线 考纲剖析 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. 知识回顾 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 ．2-1-c-n-j-y (2)其数学表达式：|MF|＝ ． 2．抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准方程 续表 性质 顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 精讲方法 一、抛物线 （一）抛物线的定义及应用 1．抛物线的离心率=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。【来源：21·世纪·教育·网】 2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。 （二）抛物线的标准方程与几何性质 1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值； 2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若是抛物线上两点，则直线AB的斜率与可得如下等式。 注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。 (三)直线与抛物线的位置关系 1.直线与抛物线的位置关系 设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,2·1·c·n·j·y (1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点; 当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点; 当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点. (2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行. 2.焦点弦问题 已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1) y1·y2=-p2,·=; （2） （3）； （4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 二、小结 1．认真区分四种形式的标准方程 (1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．21*cnjy*com 2．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋，它们在解题中有重要的作用，注意运用．21世纪教育网版权所有 例题精讲 考点一　　抛物线的定义及其应用 【例题1】（2016海南师大附中临考模拟）过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是（?? ） A、y2=12xB、y2=﹣12xC、x2=﹣12yD、x2=12y 【答案】D 【考点】抛物线的定义 【解析】【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y=﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2=12y． 故选D．【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可求出． 【变式训练1】如果点在以点F为焦点的抛物线上，则（ ） A、1B、2C、3D、4 考点二　抛物线的标准方程与几何性质 【例题2】设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（　　） A、y2=4x或y2=8xB、y2=2x或y2=8xC、y2=4x或y2=16xD、y2=2x或y2=16x 【答案】C 【考点】抛物线的标准方程 【解析】【解答】解：∵抛物线C方程为y2=2px（p＞0），∴焦点F坐标为（， 0），可得|OF|=， ∵以MF为直径 ... ...