2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛 一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上） 1.若数列满足，则的值为 ． 2.若函数对于任意都满足，则的最小值是 ． 3.在正三棱柱中，分别是侧棱上的点，，则截面与底面所成的二面角的大小是 ． 4.若，则 ． 5. 设是实数，则的最大值是 ． 6. 设,则中能被整除但不能被整除的数的个数是 ． 7. 在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点，若，则的值是 ． 8. 从正边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ． 二、解答题 9.已知，且，求的最小值. 10.在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为，不经过点的直线与椭圆交于两点，且 （1）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. （2）过两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点，求面积的取值范围. 11.设函数 （1）求证：当时，； （2）设，若存在使得，求证： 2017年全国高中数学联赛江苏赛区 复赛参考答案与评分标准 加试 1. 已知圆的内接五边形中与相交于点的延长线交圆于点，且 求证： 2.设是非负实数，，若是两个不相邻的整数，求的值， 3.平面上个点，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意条线段染成红色. 求证：三边都为红色的三角形至少有个. 4.设为正整数，， 其中为互素的正整数，对素数，令集合， 证明：对每一个素数，集合中至少有三个元素. 试卷答案 1. 2. 3. 4. 5. 6.252 7. 8.3432 二、解答题 9.解：因为，所以， 所以 当时， 所以的最小值为 10.解：（1） 因为，所以 直线与轴平行时，或与重合，不合题意. 设，则 将代入，得 所以 同理 所以，直线,即， 化简得 直线纵截距是常数，故直线过定点 （2）由 （1） ，，同理， 所以 不妨设，令，则，可化得， 即 设，则切点弦的方程是， 又在上，所以， 从而 所以到的距离 因此的面积 令，则，化得 当时，递增， 所以，即，当且仅当，即时，等号成立， 故的面积的取值范围是 11.解： （1） 用数学归纳法证明如下： （ⅰ）当时，令，则恒成立， 所以在区间为增函数， 又因为，所以，即 （ⅱ）假设时，命题成立，即当时，， 则时，令， 则，所以在区间为增函数， 又因为，所以恒成立，即， 所以时，命题成立. 由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，，当时， （2）由（1）可知，即， 所以，即，下证： 下面先用数学归纳法证明：当 （ⅰ）当时，令，则， 所以在区间单调增， 又，故，即 （ⅱ）假设时，命题成立， 即当时， 则当时，令， ， 所以在区间上为增函数，又，故，即 . 由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设， 可知当时，对成立， 所以， 从而即，证毕. 复赛加试答案 1.证明：连接 因为五边形内接于圆， 所以, 所以, 所以 ① 同理，, ② ③ 由①②③得 因为,所以 所以，即点是弧的中点， 所以 2.解：因为是不相邻的整数， 所以 由于是整数，所以 设，即， 则， 则， 于是， 从而， 故 又因为 ① 令，得，代入①得 ， 于是， ， 因此，，并且， 即，解之得， 从而，且，故 所以 3. 证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）. 设从顶点出发的红色线段最多， 由引出的红色线段为，则 若中存在两点，不妨设为使线段为红色线段， 则为红色三角形， 若相互之间没有红色线段相连， 则从出发的红色线段最多有条， 所以这个点红色线段最多有 与题设矛盾， 所以存在以为顶点的红色三角形， 下面用数学归纳法证明， （1）当时，平面上有四个点中两两连线共有条， 其中有条为红色，只有一条非红色，设为 则与均为红色三角形，命题成立， （2）假设时，命题成立，即至少存在个红色三角形， 当时，有个点，且有条红色线段， 一定存在一个红色三角形，设为 考察从引出的 ... ...
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