2018高考数学教材改编典题精练--定积分与微积分基本定理

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 定积分与微积分基本定理 【考点梳理】 1．定积分的概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 2．定积分的运算性质 (1)kf(x) dx＝kf(x) dx (k为常数)； (2)[f1(x)±f2(x)] dx＝f1(x) dx±f2(x) dx； (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx (a＜c＜b)． 3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x) dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)， 即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)． 【教材改编】 1．(选修2－2 P56例1改编)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. [答案] A [解析] 由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积S＝(x2－x3)dx＝－＝，故选A. 2．(选修2－2 P59练习T1改编)一物体沿直线以v＝2t＋3(t的单位为s，v的单位为m/s)的速度运动，该物体在时间段[3，t0]内行进的路程为22 m，则t0的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 [答案] B [解析] 由变速直线运动路程与速度的关系得 (2t＋3)dt＝22， 即(t2＋3t)＝22， ∴t＋3t0－40＝0(t0＞3)， ∴t0＝5，故选B. 3.(选修2－2 P60B组T1(1)改编) dx的值为(　　) A．2π B．π C. D. [答案] D [解析] 如图，y＝(0≤x≤1)表示以原点为圆心，半径为1的圆位于第一象限的弧，由几何意义知即为扇形的面积S＝. 4．(选修2－2 P67 B组T6改编) e|x|dx的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．2e C．2e－2 D．2e＋2 [答案] C [解析] e|x|dx＝e－xdx＋exdx ＝－e－x＋ex ＝[－e0－(－e)]＋(e－e0) ＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C. 5．(选修2－2 P57例2改编)图中阴影部分的面积是(　　) A．16　　　　B．18　　　　C．20　　　　D．22 [答案] B [解析] S＝(y＋4－)dy＝＝18.故选B. 6．(选修2－2 P60A组T1(1)改编)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　) A. B．1 C. D. [答案] D [解析] 由题意知S＝∫－cos x dx＝ sin x＝－＝. 7．(选修2－2 P60 B组T1(2)改编)[＋πx]dx＝_____. [答案] [解析] [＋πx]dx ＝ dx＋πx dx， 由定积分的几何意义知，dx表示以(1,0)为圆心，半径为1，位于x轴上方的半圆(含与x轴的交点)，(如图)与x轴围成的面积． ∴dx＝， 而πx dx＝x2＝2π. ∴[＋πx]dx＝. 8．(选修2－2 P60 A组T6改编)一客车在平直的公路上行驶，由于紧急情况，客车以速度v(t)＝5－t＋(t单位：s，v单位：m/s)紧急刹车至停止，则客车开始急刹车至完全停车所经过的时间为_____s，在此期间客车运行的路程为_____m. [答案] 9　＋40ln 10 [解析] 由题意得v(t)＝0，客车停止运行． 即5－t＋＝0(t＞0)， 解得t＝9. 即经过9 s后，客车停止运行． 此时运行的路程为 S＝v(t)dt＝dt. ＝[5t－t2＋40ln(t＋1)]＝＋40ln 10. 即客车运行了＋40ln 10 (m)． 9．(选修2－2 P60 A组T1(2)改编)曲线y＝－x2＋9与直线x＋y－7＝0所围成的图形的面积为_____． [答案] [解析] 如图，作出y＝－x2＋9与x＋y－7＝0的草图， 所求的面积为图中阴影部分面积， 由方程组 得交点的横坐标为x1＝－1，x2＝2. ∴所求的面积为S＝－1[(－x2＋9)－(7－x)]dx ＝ (－x2＋x＋2)dx ＝ ＝＋＝. 10．(选修2－2 P56例1改编)如图，曲线y＝x2与y2＝x的交点为A，过A分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为B、C，在矩形ACOB中任取一点M，则M取自阴影部分的概率为_____． [答案] [解析] 由解得x1＝0，x2＝1. ∴S阴影＝(－x2)dx＝＝. ∴点M取自阴影部分的概率为P＝＝＝. 11．(选修2－2 P60A组T1(2)改编)如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的 ... ...