21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点. 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数，则p能整除。 2.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2·1·c·n·j·y 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。21·世纪*教育网 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式： 模块一、完全平方数基本性质和概念 【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 是 的平方． 【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【巩固】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是_____． 【巩固】 已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是 。 【例 4】 已知自然数n满足：除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是 。 【巩固】 考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是 ．【来源：21cnj*y.co*m】 【例 5】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 【巩固】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． 【来源：21·世纪·教育·网】 【例 6】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 ． 2-1-c-n-j-y 【巩固】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数． 【例 7】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ 【巩固】 (2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) 【例 8】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为 ． 【巩固】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____． 【例 9】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都 ... ...
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