21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 知识框架图 7 计数综合 7-6 计数方法与技巧综合 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法 前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用． 模块一、归纳法 从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分 （6级） 【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？（6级） 【例 2】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？（8级） 【例 3】 个三角形最多将平面分成几个部分？（8级） 【例 4】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？（8级） 【例 5】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分 （10级） 【例 6】 在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？（8级） 【例 7】 在一大块面包上切刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）（10级） 模块二、整体法 解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系． 【例 8】 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形 如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀 （8级） 【巩固】在三角形内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？（8级） 【例 9】 在一个六边形纸片内有个点，以这个点和六变形的个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_____个．（8级） 模块三、对应法 将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式． 一、图形中的对应关系 【例 10】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？（6级） 【例 11】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？（6级） 【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？（6级） 【例 12】 图中可数出的三角形的个数为 ．（8级） 【例 13】 如图所示，在直线上有7个点，直线上有9个点．以上的点为一个端点、上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在与之间的交点数．（8级） 二、数字问题中的对应关系 【例 14】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？（8级） 【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？（8级） 【例 15】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，，，．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？（8级） 【例 16】 （2008年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？（8级） 三、对应与阶梯型标数法 【例 17】 游乐园的门票1 ... ...
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