相似三角形中的开放性问题 相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，由于相似三角形中对应顶点的不确定性，导致了在很多问题中出现多解的情况，即答案不是唯一确定的，下面举几例简单加以说明，希望能对同学们有所帮助。 1．寻找三角形相似的条件 例1．如图1，分别是的边上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是 ． 分析：在△ADE与△ABC中，有一个公共角∠A，根据三角形相似的判定定理，要使△ADE∽△ABC，只要两个三角形中另有一组角对应相等或∠A的夹边对应成比例就可以了． 解：只需添加条件：∠B＝∠AED或∠C＝∠ADE或等等． 说明：本题添加的条件不唯一，是一道典型的条件开放题．本题添加的条件还可以是上面所写条件的等价形式，如，AC AE＝AB AD． 2．寻找相似三角形 例2. 已知:如图2， △ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连结DE并延长交BC的延长线于点F，连结DC、BE．若∠BDE+∠BCE=180°． (1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线)； (2)请在你所找出的相似三角形中选取一对，说明他们相似的理由． 分析: 在一对角相等的条件下，如果有另一对角相等，那么两个三角形相似，或相等角的对应边成比例，也可得到两个三角形相似． ∵∠BDE+∠BCE=180°， ∠BDE+∠ADE=180°， ∴∠ADE=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB ． ∴又∵∠A=∠A， ∴△AEB∽△ADC． ∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°， ∴∠ECF=∠BDE， ∴△CEF∽△DBF． ∴又∵∠F=∠F， ∴△FEB∽△FCD． 由此得到四对相似三角形，只要写出其中三个即可． 解答:(1)△ADE∽△ACB， △AEB∽△ADC， △CEF∽△DBF， △FEB∽△FCD中任意三对即可． (2)证明略． 说明：本题是一道结论开放题，要找出相似三角形，应从相似三角形的判定条件入手进行分析，先考虑是否有两对角对应相等的三角形，再分析两边对应成比例且夹角相等的三角形． 3．构造格阵中的相似三角形 例3. 如图3，已知格点，请在图2中分别画出与相似的格点和格点，并使与的相似比等于2，而与的相似比等于．(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形．友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母！) 分析：各边的长分别为1，，，与的相似比等于2，因此各边的长分别为2，，，各边的长分别为，，5. 解：如图4(所作图形只需符合题意即可) 说明：当相似比确定后，△A1B1C1的形状就确定了，但△A1B1C1可以有多个不同的位置．而设定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形．另外，本题也可以利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理求解，从题目条件可知∠ACB＝135°，故只需把AB、BC的长求出，然后再设相似比即可求解． 4．分割相似三角形 例4. 已知：在直角坐标系中的位置如图5所示，为的中点，点为折线上的动点，线段把分割成两部分．问：点在什么位置时，分割得到的三角形与相似？ (注：在图上画出所有符合要求的线段，并求出相应的点的坐标)． 分析：由于原△AOB为直角三角形，要使分割得到的三角形与相似，故线段PC必须与原三角形的三条边垂直，因此我们需要考虑三种情况. 解：过作，垂足是，则． 点坐标是．过作，垂足是， 则．点坐标是． 过作，垂足是（如图6）， 则，． 易知， ，． 点坐标是． 符合要求的点有三个，其连线段分别是（如图6）． 说明：本题在分割三角形中，充分考虑了直角三角形的特点，利用相似三角形的性质来分割图形． 图1 A B C D E B A C D E F 图2 A B C 图3 A B C 图4 1 1 图5 1 1 图 6 PAGE 1什么是两条线段的比？ 难易度：★★★ 关键词：两条线段的比 答案： 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n，或写成 = 。 【举一反三】 典题：在比 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
