第四章 图形的性质 第23节 等腰三角形 ■考点1.等腰三角形 （1）性质 ①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合; ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴. （2）判定 ①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形； ②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 注意：三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为 . ■考点2.等边三角形 （1）性质 ①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定 ①定义：三边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形； ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.21*cnjy*com 注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质. （2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.【出处：21教育名师】 ■考点3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上． ■考点4.垂直平分线 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.2·1·c·n·j·y （2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ■考点1.等腰三角形 ◇典例： 1.（2016?武汉）平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C， 使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质． 【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数．21·世纪*教育网 解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴AB=2， ①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选A【版权所有：21教育】 2.（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对 【考点】等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系 【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．21教育网 解：根据题意得 ， 解得， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8， 不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4+8+8=20． 故选B． ◆变式训练 1.（2016?阿坝州）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，则△AED的周长为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】 A．2 B．3 C．4 D．5 2.(2016·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点， ... ...
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