解析几何的进一步发展 课件 (1)

课件47张PPT。解析几何的进一步发展几何学几何学: 主要研究图形的几何性质.几何性质: 比如:对称性; 几何量的确定;对称性在数学中用变换群来刻画.几何量: 长度,面积,体积,曲率等解析几何:几何学方法论的学科.解析几何:代数方法.微分几何:用微分和积分的方法.保距变换群有限次平移、旋转、轴反射的复合的全体欧氏几何欧氏几何: 研究图形的保距变换不变性的科学欧氏几何仿射几何例如: 三维空间中两个图形怎样判断它们在仿射变换下全等?射影几何M?bius几何Laguerre几何Lie球几何Riemann几何Finsler几何解析几何的基本思想： 用代数的方法来研究几何. 解析几何的基本方法： 建立几何上的对象与代数对象之间的一一对应. 用代数的方法研究几何图形. 。(1)建立向量与几何对象(向量与有向线段)建立一一对应. (2)建立坐标系，空间的几何对象(点)就可以用代数对象(有序数对)表示.定义. 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量.向量(Vector)向量相等: 大小, 方向.注意向量相等与有向线段相等的差异.利用这种对应,直观定义两个向量的垂直(或正交),平行.规定：零向量与任何向量正交.所有的零向量都相等.长度为1的向量.零向量：单位向量： 定义　大小相等但方向相反的两个向量叫做互为反向量.一. 空间向量的线性运算 1. 加法 ? ? + ? = + (1) 三角形法则 注: ||?|| ? ||?|| ? ||? +? || ? ||?|| + ||? ||. 一. 空间向量的线性运算 1. 加法 ? (1) 三角形法则 (2) 平行四边形法则 ? + ? = + ? (3) 负向量 ?? (4) 向量的减法 ? ? ? = ? + (??). ? ?? ? (4) 运算性质 ① 交换律 ? + ? = ? + ? . ② 结合律 (? + ? ) + ? = ? + (? + ? ). ③ ? + ? = ?. ④ ? + (??) = ?. ?? ? ? 例1.C A B D G E F H ? 2. 数乘 ? ———向量 k ———数 k? ———向量 大小: |k|?||?|| 方向 k = 0或? = ?时: 无 k > 0且? ? ?时: 同? k < 0且? ? ?时: 同?? ? = 2?, (1) 定义 ? ① 1? = ? ; ② (ab)? = a(b?); ③ (a+b)? = a? + b? ; ④ a(? +?) = a? + a? . (2) 运算性质 注: (?1)? = ?? .数乘 负向量 单位向量: 大小等于1的向量.规定：零向量与任何共线的向量组共线. 定义 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 定义 平行于同一平面的一组向量叫做共面向量.规定：零向量与任何共面的向量组共面.? 4. 共线/共面问题 点O, A1, A2, …, As在同一直线上. ?1, ?2, …, ?s共线: 点O, A1, A2, …, As在同一平面上. ?1, ?2, …, ?s共面: ? 3. 线性组合 ?1, ?2, …, ?s ———向量 k1, k2, …, ks ———数 k1?1 + k2?2 + … + ks?s ———向量 ?1, ?2, …, ?s 的一个线性组合 ? ?k1, k2, …, ks使? = k1?1 + k2?2 + … + ks?s ?能由?1, ?2, …, ?s线性表示: ?不全为零的k1, k2, …, ks使?1, ?2, …, ?s线性相关: ?1, ?2, …, ?s , ? ———向量 k1?1 + k2?2 + … + ks?s = ? k1?1 +k2?2 + … +ks?s = ? ? k1=k2= … =ks= 0. ?1, ?2, …, ?s线性无关: ? (2) 判定 ? = 2?, 定理1. ? ? ?, 则 ?与?共线 ? ?能由?线性表示 且表示方式是唯一的. 推论. ?, ?共线 ? ?, ?线性相关. 2? ? ? = ?, 2? +? = ?. ? = k1? + k2? 定理2. ?与?不共线, 则 ?与?, ?共面 ? ? 能由?, ?线性表示 且表示方式是唯一的. 推论. ?, ?, ? 共面? ?, ?, ? 线性相关. ?k1? ? k2? + 1? = ? ? 定理3. ?, ?, ? 不共面, 则 任意向量δ ,可以由?, ?, ? 线性表出, 即存在数a,b,c, δ=a?+b?+c? .且表示方式是唯一的. ? 例2. 证明: A, B, C, D四点共面 ? 对任意点O存在不全为零的实数a, b, c, d 使得a + b + c + d = 0且 ? 证明: (?) A, B, C, D四点共面? 存在不全为零的实数a, b, c使得 令d = ? (a+b+c)即可. ? 证明: (?) 不妨设a ? 0. ? d = ? (a+b+c). a + b + c + d = 0aOA + bOB + cOC + dOD= ? = ? 证明: ( ... ...