全等三角形中常见辅助线的作法 巧添辅助线———倍长中线 【夯实基础】 例：中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法———倍长中线 △ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F， 延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形 例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH 例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE至F，连结DF 证明ΔABE≌ΔFDE（SAS） 进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE、DF交于G 证明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC 2、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证： 3、已知：如图，(ABC中，(C=90(，CM(AB于M，AT平分(BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE. 提示：过T作TN⊥AB于N 证明ΔBTN≌ΔECD 截长补短法引辅助线 思路：当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。 通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。 例1. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC＋CD 证法一：（补短法） 延长AC至点F，使得AF＝AB 在△ABD和△AFD中 ∴△ABD≌△AFD（SAS） ∴∠B＝∠F ∵∠ACB＝2∠B ∴∠ACB＝2∠F 而∠ACB＝∠F＋∠FDC ∴∠F＝∠FDC ∴CD＝CF 而AF＝AC＋CF ∴AF＝AC＋CD ∴AB＝AC＋CD 证法二：（截长法） 在AB上截取AE＝AC，连结DE 在△AED和△ACD中 ∴△AED≌△ACD（SAS） 例2. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。 分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长BA，CE交于F，证△BEF≌△BEC，得，再证△ABD≌△ACF，得BD＝CF。 1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD 3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证： 5.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若∠C=2∠B,证明：AB=AC+CD. 6.已知：如图，△ABC中，∠A=60°，∠B与∠C的平分线BE,CF交于点I，求证：BC=BF+CE. 7.已知：如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE. 与角平分线有关的辅助线 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。 对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情 ... ...
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