第三章函数 第14节 二次函数图像与性质（二） ■知识点一：二次函数图像上的点的坐标特征 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是 ①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．21教育名师原创作品 ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x= ■知识点二：二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y= （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y= ， （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． ■知识点三：二次函数图象与几何变换 抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的开口方向和大小都相同，只是位置不同．它们之间的平移关系如下： 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式21世纪教育网版权所有 失分点警示： 抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2． ■知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式 二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 二次函数与不等式 抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. ■考点1.二次函数图像上的点的坐标特征 ◇典例： (2017云南中考)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3，8)，该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A，M是这个二次函数图象上的点，O是原点． (1)不等式b＋2c＋8≥0是否成立？请说明理由； (2)设S是△AMO的面积，求满足S＝9的所有点M的坐标． 【分析】由顶点坐标(3，8)可求解析式，进而可算b＋2c＋8＝0故(1)成立．注意：点M可以在x轴的上方，也可能在x轴的下方，可能在对称轴的左侧，也可能在右侧，故要分情况讨论．21·cn·jy·com 解：(1)∵二次函数顶点坐标为(3，8)， ∴解析式为y＝－2(x－3)2＋8＝－2x2＋12x－10， ∴b＝12，c＝－10， ∴b＋2c＋8＝0，∴b＋2c＋8≥0成立； (2)设M(m，－2m2＋12m－10)， ∴S＝OA·|yM|＝9， ∴|－2m2＋12m－10|＝6， ①－2m2＋12m－10＝6， 解得m1＝2，m2＝4，∴M1(2，6)，M2(4，6)； ②－2m2＋12m－10＝－6， 解得m1＝3＋，m2＝3－， ∴M3(3＋，－6)，M4(3－，－6)． 综上所述，M的坐标为(2，6)或(4，6)或(3＋，－6)或(3－，－6)． ◆变式训练 (2017张家界中考)已知抛物线C1的顶点为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)． (1)求C1的解析式； (2)若直线l1：y＝x＋m与c1仅有唯一的交点，求m的值． ■考点2.二次函数的最值 ◇典例 （2017?广州）当x=_____时，二次函数y=x2-2x+6有最小值 _____ 【考点】二次函数的最值． 【分析】把x2-2x+6化成（x-1）2+5，即可求出二次函数y=x2-2x+6的最小值是多少． 解：∵y=x2-2x+6=（x-1 ... ...
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