第六讲 运动型问题 第1课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[2017·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( D ) A. B. C.5 D. 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P到AB的距离为h，由S△PAB＝S矩形ABCD，得×5h＝×5×3，解得h＝2，动点P在EF上运动，如答图，作点B关于EF的对称点B′，BB′＝4，连结AB′交EF于点P，此时PA＋PB最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 2．如图6－1－2，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D的路径移动．设点P经过的路径长为x，PD2＝y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是 ( D ) 【解析】 ①当0≤x≤2a时，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；②当2a＜x≤3a时，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；③当3a＜x≤5a时，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x， ∴PD2＝y＝(5a－x)2，y＝∴能大致反映y与x的函数关系的图象是选项D中的图象． 3．如图6－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2为边长的正方形DEFG的一边GD在直线AB上，且点D与点A重合，现将正方形DEFG沿AB的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D与点B重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是 ( A ) 【解析】 首先根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分别求出AC，BC，以及AB边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t≤2时；②当2＜t≤6时；③当6＜t≤8时，分别求出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S的表达式，进而判断出正方形DEFG与△ABC的重合部分的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是哪个即可． S＝ 二、解答题(共20分) 4．(20分)[2017·无锡]如图6－1－4，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连结CP，作点D关于直线PC的对称点E.设点P的运动时间为t(s)． (1)若m＝6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值． (2)已知m满足：在动点P从点D到点A的整个过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3.求所有这样的m的取值范围． 图6－1－4 【解析】 (1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC.①在Rt△BEC中，计算BE的值；②在Rt△ABP中，利用勾股定理列出关于t的方程，解出t值即可求； (2)如图②，P，E，B三点在同一直线上，连结EC，过点E作EF⊥BC于F.①在Rt△EFC中，利用勾股定理求出CF；②利用相似三角形的判定与性质求得BF；③根据m＝BC＝BF＋CF计算m的值． 解：(1)如答图①，P，E，B三点在同一直线上，连结EC. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC. ∵PD＝t，m＝6，∴PA＝6－t. ∵点D，点E关于直线PC对称． ∴PE＝t，EC＝DC＝AB＝4，∠CEP＝∠CDP＝90°. 在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝4， ∴BE＝＝＝2. 在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2，即42＋(6－t)2＝(2＋t)2， 解得t＝6－2. (2)如答图②，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3. 作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4.易证四边形EMCQ是矩形，∴CM＝EQ＝3，∠M＝90°， ∴EM＝＝， ∵∠DAC＝∠EDM，∠ADC＝∠M， ∴△ADC∽△DME，∴＝，即＝， ∴AD＝4. 第4题答图② 第4题答图③ 如答图③，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3. 作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M.则EQ＝3，CE＝DC＝4. 在Rt△ECQ中，QC＝DM＝＝，由△DME∽△CDA， ∴＝，即＝，∴AD＝， 综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值 ... ...
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