第四章 图形的性质 第21节 解直角三角形 ■知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sinA＝＝ 余弦: cosA＝＝ 正切: tanA＝＝. 2.特殊角的三角函数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 ■知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系 (1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2； (2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝. ■知识点三：解直角三角形的应用 1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①） (2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②） (3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③） 21·cn·jy·com 2.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题； (3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． ■考点1. 锐角三角函数的定义 ◇典例： 1.（2017. 阿坝）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ） A．msin35° B．mcos35° C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案． 解：sin∠A=， ∵AB=m，∠A=35°， ∴BC=msin35°， 故选：A． 2.（2017. 天津）cos60°的值等于（ ） A． B．1 C． D． 【考点】 特殊角的三角函数值． 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案． 解：cos60°=， 故选：D． ◆变式训练 1.（2017. 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ） A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1 2.（2017. 聊城）在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（ ） A． B． C． D． ■考点2：解直角三角形 ◇典例 （2017.滨州）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（ ） A．2+ B．2 C．3+ D．3 【考点】解直角三角形． 【分析】通过解直角△ABC得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan∠DAC的值．21cnjy.com 解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°， ∴AB=2AC，BC==AC． ∵BD=BA， ∴DC=BD+BC=（2+）AC， ∴tan∠DAC===2+． 故选：A． ◆变式训练 （2017·嘉兴）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （ ），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）． (1)此时小强头部 点与地面 相距多少？ (2)小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？ （ ， ， ，结果精确到 ） ■考点3：解直角三角形的应用 ◇典例： 1.（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）2·1·c·n·j·y 【考点】 解直角三角形的应用﹣ ... ...
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