小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 裂项计算综合（含解析）

第六讲 裂项计算综合 模块一、分数裂项 分数裂项的技巧 分数裂项实质上是异分母加减法的逆运算，关键找分母上数和分钟上数的和差倍关系。 第一类：“裂差”型运算： 当分母是两数乘积的形式，分子可表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。 。 两项的裂差非常常见，一定要熟练掌握。 第二类：“裂和”型运算 当分母是两数乘积形式，分子可表示为分母上两数的和（基本型），这可以进行裂和。 例1．（1）计算：； （2）。 解：（1）原式= ==。 （2）原式= ==。 例2．（1）计算：= 。 （2）计算：= 。 解：（1）原式= =。 （2）原式= =。 模块二、整数裂项： 整数裂项的常见形式： ； 。 整数裂项的计算：（适用条件：从1开始，连续相乘） （1）1×2+2×3+3×4+……+(n?1)×n=； （2）1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+(n?2)×(n?1)×n=； 例3．（1）计算：1×3+3×5+5×7+……+17×19= 。 （2）计算：1×3×5+3×5×7+5×7×9+……+19×21×23= 。 解：（1）原式= ==1131. （2）原式 = ==28680. 例4．计算：1×1!+2×2!+3×3!+……+2017×2017!= . 解：因为n×n!=[(n+1)?1]×n!=(n+1)!?n!，所以 原式=(2!?1!)+(3!?2!)+(4!?3!)+……+(2018!?2017!) =2018!?1. 模块三、综合通项归纳 一些计算题目中，如果题目中给出的数字有一定的规律，而且题目又比较长，那么我们通常就可以采用字母把每一项用相同的形式表示出来，找出其中的规律，然后根据这个规律对公式进行运算，运用以前学过的巧算方法进行计算，这就是通项归纳的技巧。 例5．（1）一列算式：，问第10项是多少？第n项化简后的表达式是什么？ （2）计算：。 解：（1）第10项a10=；第n项an=； （2）第n项an===. 原式= ==。 例6．计算：. 解：原式= ==。 随 堂 练 习 1．计算：； 解：原式==。 2．计算：1×2+2×3+3×4+……+18×19+19×20. 解：原式=。 3．计算：1×4×7+4×7×10+7×10×13+……+22×25×28. 解：原式= ==39788. 4．如图，第（1）个多边形有正三角形“扩展”而来，边数即为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依次类推，由正n(n≥3)边形“扩展”而来的多边形的边数记为an，当n=2017时，的结果是多少？ 解：a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5=30=5×6，所以a2017=2017×2018， = ==。 5．计算：。 解：原式==。