第九讲 数列综合 模块一、基础性数列： 例1．已知数列4，11，18，25，……，158，那么 （1）这个数列的第20个数是 ； （2）88是这个数列的第 个数； （3）这个数列一共有 项； （4）将这个数列中所有的数加起来，和是 。 解：（1）此数列是等差数列，首项a1=4，公差d=7，所以第20个数是a20=4+7×19=137； （2）88=4+7×12，所以88是数列中的第13个数； （3）(158?4)÷4+1=23，所以158是数列的第23个数； （4）S23=。 例2．观察下面的数列，找规律填空： （1）2，6，10，14，18，22， ， ，34； （2）1，3，9，27，81， ，729； （3）1，4，9，16，25， ， ，64； （4） ， ，12，19，31，50，81，131，212。 解：（1）26；30； （2）243； （3）36；49； （4）5；7； 第（4）题是斐波那契数列的一种，即从第3个数开始，都等于前2个数的和。 模块二、等比数列： 例3．（1）等比数列2，，，……的公比为 ；第5项为 ； （2）等比数列的通项公式an=5×2n，则其首项为 ；公比为 ； （3）每项为正数的等比数列中，a1=2，a3=18，则a5= ，a6= ； （4）在等比数列an中，若公比q=4，且前3项之和等于21，那么这个数列的第5项a5= 。 解：（1）公比q=÷2=，第5项a5=2×()4=； （2）a1=5×2=10，公比q=2； （3）因为a3=a1×q2，得18=2×q2，解得q=3，所以a5=2×34=162，a6=162×3=486；21教育网 （4）前3项的和为a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以a5=44=256. 例4．（1）1+4+42+43+…+46= ； （2）= 。 解：（1）1+4+42+43+…+46=； （2）==。 模块三、数列综合 例5．（1）数列2、9、17、24、32、39、47、54、62、……的第2017项是 ； （2）一个等差数列的第3项是14，第18项是23，那么这个数列的前2018项中有 项是整数。 解：（1）a1=2，a2=a1+7=9，a3=a2+8=17，a4=a3+7=24，a5=a4+8=32，a6=a5+7=39，a7=a6+8=47，……， 所以a3=a1+15=17，a5=a3+15=32，a7=a5+15=47，……，于是a2017=a1+1008×15=15122； （2）公差d=(23?14)÷15=，所以每隔5项数值增加3，即a3=14，a8=17，a13=20，a18=23，…， 所以整数项有(2018?3)÷5+1=404（项）。 例6．计算：1×1+3×2+5×22+……+19×29= . 解：设S=1×1+3×2+5×22+……+19×29， ① 则 2S=1×2+3×22+……+17×29+19×210， ② 1②?①得 S=19×210?(1+22+23+……+210)=19×1024?(1+211?4)=19456?2045=17411. 随 堂 练 习 1．（1）等差数列2，5，8，11，…，47，50，53一共有多少项？ （2）计算7+11+15+…+191+195的和。 解：（1）公差d=3，(53?2)÷3+1=18，一共有18项； （2）公差d=4，一共有(195?7)÷4+1=48（项）， 所以7+11+15+…+191+195==4848. 2．找规律填数： （1）1、3、6、10、15、21、 ； （2）100、81、64、49、36、 、 、9. 解：（1）21+7=28； （2）25；16； 3．在等比数列中，若公比 q=4，且前2项之和等于35，求这个数列的第5项。 解：a1+4a1=35，所以a1=7，则a5=a1×q4=7×44=7×256=1792. 4．计算：2+22+23+24+……+29= 。 解：2+22+23+24+……+29==210?2=1022. 5．把从2017到1000之间的自然数按从大到小的顺序排列起来，形成多位数：201720162015……10011000，从左往右第999个数字是多少？21世纪教育网版权所有 解：2017到1000的每个数都是4位数，999÷4=249……3， 从2017开始数250个数是2017?250+1=1768，所以第999个数字是6. ... ...
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