第十讲 直线几何中的数学思想 模块一、从反面情况考虑 例1．如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，则阴影部分的面积为 平方厘米。 解：考虑特殊情况： 当H点与D点重合时，阴影部分为△DEF， S△DEF=SABCD?S△ADE?S△BEF?S△CDF， 其中S△ADE=SABCD=14，S△BEF=SABCD=7，S△CDF=SABCD=14， 所以S△DEF=56?14?7?14=21. 解2：考虑特殊情况： 当H点为AD中点时，S△EFH=SABCD=14，S△DGH=SABCD=7， 所以阴影部分的面积= S△EFH+ S△DGH=14+7=21. 例2．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，E是宽BC的中点，AB上有一点F，使得△DEF的面积为10，则AF= 。 解：SABCD=6×4=24，S△DEF=10，S△CDE=6，所以 S△ADF+S△BEF=24?10?6=8， 设AF=x，则BF=6?x，S△ADF+S△BEF=2x+6?x=8， 解得x=2. 即AF=2. 模块二、割补法求面积： 例3．四边形ABCD是一个边长为12厘米的正方形，则阴影四边形的面积是 平方厘米。（图中单位：厘米） 解：设BE=a，DF=b， 则四个角上的三角形的面积分别为，，，， 所以阴影部分的面积 =122???? =144? =144?76=68. 模块三、综合问题： 例4．如图，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，△ABF比△EDF的面积大9平方厘米，求ED的长是 厘米。 解：设DE=x，把△ABF和△EDF都加上梯形BCDF，得SABCD?S△BCE=9， 所以4×6?=9，解得x=1， 所以DE=1厘米. 例5．如图，正方形边长是10厘米，图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么四边形ABCD的面积是 平方厘米。 解：正方形边长是10厘米，所以正方形EFGH的面积是100平方厘米， S△EBG+S△FBH==50平方厘米， 又阴影部分的面积是40平方厘米， 所以四边形ABCD的面积是50?40=10平方厘米。 例6．如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，线段AB将图形分为两部分，左边部分的面积是38，右边部分的面积是65，那么△ADG的面积是 。 解：设A点到CG的距离为a，B点到CG的距离为b， 图形左边部分的面积为=38， 右边部分的面积为=65， 联立方程组，②×4?①×5得 49a=140，7a=20， S△ADG=14a=40。 随 堂 练 习 1．如图所示，边长分别为6厘米和8厘米的正方形并排放，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 解：阴影部分的面积=SABCD+SCEFG?S△ABE?S△EFG =36+64??=100?42?32=26. 2．如图所示，四边形ABCD的两条边AD=7，BC=3，∠B=∠D=90°，∠A=45°，求这个四边形的面积。 解：如图延长AB、DC相交于E，则 SABCD=S△ADE?S△BCE， △ADE是以AD为一条直角边的等腰直角三角形， △BCE是以BC为一条直角边的等腰直角三角形， 所以 SABCD==20. 3．两个正方形的面积相差9平方厘米，边长相差1厘米，这两个正方形的面积和是 平方厘米。 解：设小正方形的边长为a，则大正方形的边长为a+1， (a+1)2?a2=2a+1=9，解得a=4厘米，a+1=5厘米， 所以两个正方形的面积的和是16+25=41（平方厘米）。 4．两个相同的直角三角形如图所示重叠在一起，阴影部分的面积是 。 解：OC=BC?OB=EF?OB=10?3=7， 阴影ABOD+△CDO=△CDO+梯形OCFE， 所以SABOD=S梯形OCFE=。 5．在长方形ABCD中，AD=15，AB=8，四边形OEFG的面积是9，阴影部分的总面积是 。 解：S△ACF+S△DBF=， 又四边形OEFG的面积是9， 所以空白部分的面积=60?9=51， 阴影部分的面积=15×8?51=120?51=69. ... ...
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