第2章 代数式 2.1整式的运算 2.1.1★化简，其中为大于1的事数． 解析 原式． 评注 本例可推广为一个一般的形式： ． 2.1.2★计算 （1）； （2）． 解析 （2）这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． 原式 ． （2）的结果是，这个结果与多项式相乘时，不能直接应用公式，但 与前两个因式相乘的结果相乘时就可以利用差的立方公式了． 原式 ． 2.1.3★设，，求用去除所得的商及余式． 解析1用普通的竖式除法 因此，所求的商，余式． 解析2 用待定系数法 由于为3次多项式，首项系数为1，而为次，首项系数为3，故商必为1次，首项系数必为，而余式次数小于2，于是可设商式，余式． 根据，得 ． 比较两端系数，得 解得，，，故商式，余式． 2.1.4★已知当时，代数式的值为4，求当时，代数式的值． 解析 比较两个代数式，发现它们的相同与不同． 当时， ． 2.1.5★若，且，试求的值． 解析 ，，代入 得，故，，所以． 2.1.6★★试确定和，使能被整除． 解析 由于，因此，若设 ， 假如能被整除，则和必是的因式，因此，当时，，即 ，① 当时，，即 ，② 由①，②联立，则有 2.1.7★若，求的值． 解析， 所以，． ． 2.1.8★将表示成的形式． 解析 ． 2.1.9★已知，求的值． 解析1 由，有 ． 解析2由，有 ． 评注 解析1是应用拆项法；解析2是应用降次法． 这两种方法在整式恒等变形中常用． 2.1.10★★已知，，，求的值． 解析 因为，所以 ， 所以． 所以 ． 2.1.11★★若，，求的值． 解析 把两个方程相加，得，于是有 ， 故或． 2.1.12★★★已知，．求的值． 解析 因为，所以，从而．所以 ． ． 故． 2.1.13★★已知，，，求多项式的值． 解析 由 ， 又因为，，，故 原式． 2.1.14★★已知实数、、、满足，，求的值． 解析 由，得 ． 因为，所以． 因而， ． 2.1.15★★已知，试求的值． 解析 多项式的系数和，就是． ． 2.1.16★★求一个关于的二次三项式，它被除余2；被除余8；并且被整除． 解析 设这个二次三项式为 ． 则 ①③得 代入②、③得 ④⑤得 ， 代入⑤得 ． 所求二次三项式为． 2.1.17★未知数、满足 ， 其中、表示非零已知数，求、的值． 解析 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式． 将已知等式变形为 ， ， 即． 所以 因为，所以，． 2.1.18★★已知、、满足，求证： ． 解析 因为，所以 左边 右边． 2.1.19★已知，证明． 解析 因为，所以 ， 即， 因此， 即． 2.1.20★证明： ． 解析 此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．令 ， ① ， ② ， ③ 则要证的等式变为． 因为 ， 所以将①，②，③相加有 ， 所以， 所以 ． 2.1.21★★已知，且、、、都是正数，求证：． 解析 由已知可得 ， ， 所以 ． 因为 ，，，所以 ， 所以． 又因为、、、都为正数，所以，，所以 ，． 所以 ， 所以．故成立． 2.1.22★★已知，求证 ． 解析 用作差法，注意利用的条件． 左右 ． 所以等式成立． 2.2因式分解 2.2.1★分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 解析（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式． 本小题可以稍加变形，解法如下： 原式． （4）原式 ． 2.2.2★分解因式：． 解析1 原式 ． 解析2 原式 ． 评注 解析2中， 是因式分解中经常用到的一个结论，记住这个结论是必要的． 2.2.3★★分解因式： ． 解析 原式中与的和等于，所以考虑用立方和公式变开后，再进行分解． 原式 ． 2.2.4★★分解因式：． 解析 原式 3 评注 ． 显然，当时，则；当时，则，即，而且，当且仅当时，等号成立． 如果令，，，则有 ． 等号成立的充要条件是．这也是一个常用的结论． 2.2.5★★分解因式 ... ...
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