2. 4 一元二次方程根与系数的关系同步练习 (选学)

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 2. 4 (选学)一元二次方程根与系数的关系同步练习 姓名：_____班级：_____学号：_____ 本节应掌握和应用的知识点 1. 利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2. 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2=，反过来也成立，即 =-（x1+x2），=x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 基础知识和能力拓展训练 一、选择题 1．已知m，n是方程x2＋2 x＋1＝0的两根，则代数式的值为(　　) A. 9 B. 4 C. 3 D. 5 2．若关于的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则的值为（　　） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣ D. 3．方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等实根 B. 有两个相等实根 C. 无实根 D. 以上三种情况都有可能 4．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1－x1x2＋x2＝1－a，则a的值是(　　) A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 2 5．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≥-2 B. k＞-2且k≠0 C. k≥-2且k≠0 D. k≤-2 6．对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），下列说法中错误的是（　　） A. 当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根 B. 当c=0时，方程至少有一个根为0 C. 当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数 D. 当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号 7．甲、乙两个同学分别解一道二次项系数是1的一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（ 　） A. x2+4x﹣15=0 B. x2﹣4x﹣15=0 C. x2+4x+15=0 D. x2﹣4x+15=0 8．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　） A. 7 B. 11 C. 12 D. 16 10．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11．方程3x2－1＝2x＋5的两根之和为_____． 12．已知x1,x2是方程3x2－x－2=0的两个根，那么x21＋x22 =__， =_____． 13．若关于x的一元二次方程x2-x+k=0的一个根是0,则另一个根是_____． 14．已知在等腰三角形ABC中，BC＝8，AB，AC的长为方程x2－10x＋m＝0的根，则m＝_____． 三、解答题 15．已知x1，x2 是关于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的两个实数根． （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围；　 （2）当时，求的值． ... ...