21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台 二项式定理 【考点梳理】 1.二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2.二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的 当k＞(n∈N*)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与取最大值 3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 【考点突破】 考点一、求展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. [解析] (1)通项公式为 Tk＋1＝Cxx－＝Cx. 因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10. (2)令＝2，得k＝2， 故含x2的项的系数是C＝. (3)根据通项公式，由题意 令＝r (r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－r， ∵k∈N，∴r应为偶数. ∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为x2，－，x－2. 【类题通法】 1. 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. 2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【对点训练】 1．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60 [答案] C [解析] 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30. 法二 (x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积. ∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30. 2．(2x＋)5的展开式中，x3的系数是_____(用数字作答). [答案] 10 [解析] 由(2x＋)5得Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝ 25－rCx5－，令5－＝3得r＝4，此时系数为10. 考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； 解 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和. (1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210. (2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29， 偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29. (4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，① 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)， 得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，② ①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为； ①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶数项系数和为. 【类题通法】 1. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数 ... ...
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